Доказывается, что при отражении светового луча от плоского зеркала справедливо равенство e2=e1-2(e1,n)n для единичных

Для доказательства равенства \(e_2 = e_1 - 2(e_1, n)n\) при отражении светового луча от плоского зеркала, воспользуемся геометрическими свойствами и законами отражения.

Рассмотрим плоскость зеркала, на которую падает световой луч. Пусть \(n\) - нормаль к плоскости зеркала, \(e_1\) - единичный вектор, задающий направление падающего луча, и \(e_2\) - единичный вектор, задающий направление отраженного луча.

Для начала, рассмотрим проекцию вектора \(e_1\) на плоскость зеркала. Обозначим эту проекцию как \(e_{1\parallel}\). Также рассмотрим компоненту вектора \(e_1\) вдоль нормали к плоскости зеркала, обозначим ее как \(e_{1\perp}\). Тогда, вектор \(e_1\) можно представить как сумму этих двух компонент:

\[e_1 = e_{1\parallel} + e_{1\perp}\]

Теперь, проецируем вектор \(e_{1\parallel}\) симметрично относительно нормали к плоскости зеркала. Обозначим проекцию как \(-e_{1\parallel}\). Тогда, направление отраженного луча \(e_2\) можно представить следующим образом:

\[e_2 = -e_{1\parallel} + e_{1\perp}\]

Так как \(e_{1\parallel}\) и \(-e_{1\parallel}\) обратно направлены и имеют одинаковую длину, то их сумма равна нулевому вектору:

\[-e_{1\parallel} + e_{1\perp} = e_2 = \mathbf{0}\]

Теперь, заметим, что компоненты \(e_1\) и \(e_2\) вдоль \(n\) равны соответственно \(e_{1\perp}\) и \(-e_{1\parallel}\). Таким образом, мы получаем:

\[(e_1, n) = (e_{1\perp}, n) = (e_2, n) = (-e_{1\parallel}, n)\]

Так как \(e_{1\parallel}\) сонаправлен с нормалью \(n\), то их скалярное произведение равно:

\((-e_{1\parallel}, n) = -1 \cdot \|e_{1\parallel}\| \cdot \|n\| = -1 \cdot \|e_{1\parallel}\| \cdot 1 = -\|e_{1\parallel}\|\)

Также, так как \(e_{1\perp}\) перпендикулярен нормали \(n\), их скалярное произведение равно нулю:

\((e_{1\perp}, n) = 0\)

Теперь, мы можем переписать равенство \((e_1, n) = (e_2, n)\) следующим образом:

\(\|e_{1\parallel}\| - \|e_{1\parallel}\| = -2 \|e_{1\parallel}\|\)

Так как \(\|e_{1\parallel}\|\) - это длина проекции \(e_1\) на плоскость зеркала, которая равна длине проекции \(e_2\) на плоскость зеркала (т.к. эти проекции однородны), то мы можем записать:

\(\|e_{1\parallel}\| = \|e_{2\parallel}\|\)

Таким образом, мы приходим к равенству:

\(-2 \|e_{1\parallel}\| = -2 \|e_{2\parallel}\|\)

Интерпретируя это равенство, получаем:

\[e_2 = e_1 - 2(e_1, n)n\]

Таким образом, доказывается, что при отражении светового луча от плоского зеркала справедливо равенство \(e_2 = e_1 - 2(e_1, n)n\).