Докажите следующие тождества: 1) 5sin2a - 4sinacosa = 3sina 2) cos7a - cos5a / 2sin6a = -sina

Конечно! Давайте решим эти тождества пошагово.

1) Для доказательства тождества 5sin2a - 4sinacosa = 3sina, нам понадобится использовать тригонометрические тождества.

Начнем со второго слагаемого -4sinacosa. Мы знаем, что sin2a = 2sinacosa.

Подставим значение sin2a вместо слагаемого 2sinacosa:

5(2sinacosa) - 4sinacosa = 3sina

Упростим левую часть:

10sinacosa - 4sinacosa = 3sina

Теперь объединяем подобные слагаемые:

(10 - 4)sinacosa = 3sina

6sinacosa = 3sina

Делим обе части на sina:

6cosa = 3

Упрощаем:

cosa = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Таким образом, мы доказали первое тождество: 5sin2a - 4sinacosa = 3sina, когда cosa = \(\frac{1}{2}\).

2) Для доказательства второго тождества cos7a - cos5a / 2sin6a = -sina, также используем знания тригонометрии.

Первым делом, нам нужно упростить выражение cos5a / 2sin6a.

Мы знаем, что sin2a = 2sinacosa. Поэтому sin6a = 2sin3a * cos3a.

Подставим это значение и упростим дробь:

cos5a / 2sin6a = cos5a / (2 * 2sin3a * cos3a) = cos5a / (4sin3a * cos3a)

Теперь, давайте рассмотрим выражение cos7a.

Мы знаем, что cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ.

Мы можем использовать данное тождество, чтобы представить cos7a в другом виде:

cos7a = cos(3a + 4a) = cos(3a)cos(4a) - sin(3a)sin(4a)

Теперь мы можем представить наше исходное выражение в новом виде:

cos7a - cos5a / 2sin6a = (cos(3a)cos(4a) - sin(3a)sin(4a)) - (cos5a / (4sin3a * cos3a))

Теперь приводим получившееся выражение к общему знаменателю:

(cos(3a)cos(4a) - sin(3a)sin(4a)) - (cos5a * (cos3a) / (4sin3a * cos3a))

Упрощаем скобки вычитания:

cos(3a)cos(4a) - sin(3a)sin(4a) - (cos5a * cos3a) / (4sin3a * cos3a)

Теперь объединяем подобные слагаемые:

cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - (sin(3a)sin(4a)) / (4sin3a * cos3a)

Теперь, заметим, что в числителе у нас есть разность двух синусов.

Если мы применим формулу sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ к данному выражению, мы сможем упростить его:

cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - (sin(3a)sin(4a)) / (4sin3a * cos3a)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - sin(3a) * (sin(4a) / (4sin3a * cos3a))

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - sin(3a) * (sin(4a) / (2sin3a * 2cos3a))

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - (sin(3a) / (2sin3a)) * (sin(4a) / (2cos3a))

Теперь мы можем упростить выражение sin(3a) / (2sin3a) и sin(4a) / (2cos3a) с использованием тождества sinα/β = (1/2)(sin(α-β)/cosβ):

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - (1/2)(sin(3a-4a)/cos3a) * (1/2)(sin(4a-3a)/cos3a)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - (1/2)(sin(-a)/cos3a) * (1/2)(sin(a)/cos3a)

Помните, что sin(-a) = -sina, и упростим выражение еще раз:

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a - (1/2)((-sina)/cos3a) * (1/2)((sina)/cos3a)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)(sina/cos3a) * (sina/cos3a)

Теперь, заметим, что у нас есть квадрат синуса в числителе:

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)((sina)^2 / (cos3a)^2)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)(sin^2 )a / (cos^2 )3a)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)((1-cos^2 )a) / ((1-cos^2 )3a)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)((1-cos^2 )a / (1-cos^2 )3a)

Помните, что у нас есть тригонометрическая формула cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ:

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)((cos(3a))^2 / (cos(3a))^2)

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)(cos^2 (3a) / cos^2 (3a))

Теперь, заметим, что у нас есть квадраты косинусов в числителе и знаменателе:

= cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)(1)

Теперь мы можем объединить все слагаемые:

cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4)

Теперь мы можем использовать формулу cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ, чтобы упростить первое слагаемое:

cos(3a)cos(4a) - cos5a * cos3a + (1/4) = cos(7a) + (1/4)

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное уравнение:

cos7a - cos5a / 2sin6a = -sina

Заменяем cos(7a) на (cos(7a) + (1/4)):

(cos(7a) + (1/4)) - cos5a / 2sin6a = -sina

Упрощаем:

cos(7a) + (1/4) - cos5a / 2sin6a = -sina

Теперь добавляем -1/4 к обеим частям:

cos(7a) - cos5a / 2sin6a = -sina - 1/4

Теперь замечаем, что -1/4 = - (1/4):

cos(7a) - cos5a / 2sin6a = -sina - (1/4)

Подводим итоги: мы доказали, что тождество cos7a - cos5a / 2sin6a = -sina выполняется при условии cos(7a) = cos(7a) + (1/4).

Надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!