Докажите равенство векторов на плоскости для пяти произвольных точек A, B, C, D, E: AC-BC+BD=AB-DB=EE

Чтобы доказать равенство векторов AC-BC+BD=AB-DB=EE для произвольных точек A, B, C, D, E на плоскости, нам нужно воспользоваться определениями операций с векторами и свойствами этих операций.

Предположим, что векторы AB, AC, BC, BD и EE даны в виде координат. Пусть координаты точек A, B, C, D и E будут (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), (x₄, y₄) и (x₅, y₅) соответственно.

1. Для доказательства AC-BC+BD=AB, мы можем разложить вектор AB на два других вектора (AC и BC) и сложить их с BD:
AB = AC + BC
AC - BC + BD = AC + BC + BD
= AC + (BC + BD)

2. Также, для доказательства AB-DB=EE, мы можем разложить вектор DB на AB и EE и вычесть его из AB:
AB - DB = AB - (AB + EE)
= AB - AB - EE
= -EE

Таким образом, чтобы доказать равенство векторов AC-BC+BD=AB-DB=EE, мы должны показать, что AC - BC + BD равно -EE.

Для этого мы можем посчитать координаты каждого вектора и проверить, что они равны.

AC: (x₃ - x₁, y₃ - y₁)
BC: (x₃ - x₂, y₃ - y₂)
BD: (x₄ - x₂, y₄ - y₂)
EE: (x₅ - x₅, y₅ - y₅)

Подставим эти значения в выражение AC - BC + BD:

AC - BC + BD = (x₃ - x₁, y₃ - y₁) - (x₃ - x₂, y₃ - y₂) + (x₄ - x₂, y₄ - y₂)

= (x₃ - x₁ - x₃ + x₂ + x₄ - x₂, y₃ - y₁ - y₃ + y₂ + y₄ - y₂)

= (x₁ - x₂ + x₄, y₁ - y₂ + y₄)

Теперь сравним эти координаты с координатами -EE:

-EE: (-x₅, -y₅)

Если координаты AC - BC + BD совпадают с координатами -EE, то равенство доказано.

Учтите, что приведенное выше доказательство справедливо для произвольных точек A, B, C, D, E на плоскости.