Докажите кратность выражения 7^n + 13^n - 2 для любого натурального значения

Хорошо, давайте докажем кратность выражения \(7^n + 13^n - 2\) для любого натурального \(n\). Чтобы это сделать, мы воспользуемся методом математической индукции.

Первым шагом будет проверка для \(n = 1\). У нас есть:
\[7^1 + 13^1 - 2 = 7 + 13 - 2 = 18\]
Таким образом, для \(n = 1\) выражение \(7^n + 13^n - 2\) равно 18, что является кратным числу 18.

Теперь предположим, что для некоторого натурального числа \(k\) выражение \(7^k + 13^k - 2\) кратно 18. Это значит, что существует целое число \(m\), для которого выполняется:
\[7^k + 13^k - 2 = 18m \quad \text{(1)}\]

Докажем, что если предположение верно для \(k\), то оно также верно и для \(k + 1\).

Рассмотрим выражение для \(k + 1\):
\[7^{k+1} + 13^{k+1} - 2\]
Распишем его в следующем виде:
\[7 \cdot 7^k + 13 \cdot 13^k - 2\]

Мы можем переписать \(7 \cdot 7^k\) как \(7^k + 6 \cdot 7^k\), а \(13 \cdot 13^k\) как \(13^k + 12 \cdot 13^k\). Теперь мы можем переписать наше выражение следующим образом:
\[(7^k + 13^k - 2) + 6 \cdot 7^k + 12 \cdot 13^k\]
Заметим, что выражение в скобках, по предположению индукции, кратно 18. Поэтому оно может быть записано как \(18m\) для некоторого целого числа \(m\):
\[18m + 6 \cdot 7^k + 12 \cdot 13^k\]

Теперь давайте преобразуем это выражение:
\[18m + 6 \cdot 7^k + 12 \cdot 13^k = 6(3m + 7^k + 2 \cdot 13^k)\]

Мы видим, что это выражение также кратно 6. Теперь нужно показать, что оно кратно и 3. Для этого заметим, что:
\[3m + 7^k + 2 \cdot 13^k = (3m + 7^k) + 2 \cdot 13^k\]

По предположению индукции, выражение \(3m + 7^k\) кратно 3. То же самое можно сказать и о выражении \(2 \cdot 13^k\), так как 2 является делителем 3. Следовательно, сумма этих двух выражений также будет кратна 3.

Таким образом, мы доказали, что если для натурального \(k\) выражение \(7^k + 13^k - 2\) кратно 18, то оно также будет кратным и для \(k + 1\). Исходя из начального условия для \(n = 1\), мы можем сделать вывод, что для всех натуральных значений \(n\) выражение \(7^n + 13^n - 2\) будет кратным 18.