Докажите делимость выражения 3^60+1

Question

Алгебра: Докажите делимость выражения 3^60+1

Yard_7687 · Accepted Answer

Конечно! Для доказательства делимости выражения

3^{60} + 1

воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Докажем базу индукции - проверим, верно ли утверждение для

n = 1

.
Подставим

n = 1

в выражение и получим:

3^{1} + 1 = 3 + 1 = 4.

Это число явно делится на 2, поскольку 4 делится на 2 без остатка.

Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа

k

.
То есть предположим, что

3^{k} + 1

делится на 2.

Шаг 3: Докажем, что утверждение также верно для

k + 1

.
Выразим

3^{k + 1} + 1

как произведение по формуле

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

:

3^{k + 1} + 1 = 3 \cdot 3^{k} + 1 = (3 \cdot 3^{k} - 1) + 2.

Теперь внимательно посмотрим на первое слагаемое

(3 \cdot 3^{k} - 1)

. Применим наше предположение индукции: предположим, что это число делится на 2.

Тогда можно записать

(3 \cdot 3^{k} - 1) = 2 m

, где

m

- некоторое целое число.

Подставим это значение обратно в выражение:

3^{k + 1} + 1 = 2 m + 2 = 2 (m + 1) .

Таким образом, мы получили, что

3^{k + 1} + 1

является произведением числа 2 на целое число

(m + 1)

, что означает его деление на 2 без остатка.

Шаг 4: Мы показали, что если предположение верно для некоторого положительного целого числа

k

, то оно также верно для

k + 1

.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех положительных целых чисел

n

, включая

n = 60

.

Итак, мы доказали, что выражение

3^{60} + 1

делится на 2 без остатка.

Докажите делимость выражения 3^60+1

Yard_7687

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!

Докажите делимость выражения 3^60+1

Yard_7687

Сколько километров состав проехал, если он прошел мимо столба за 2 минуты, а проехал через...

Какие значения x удовлетворяют неравенству...

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!