Докажите делимость выражения 3^60+1

Конечно! Для доказательства делимости выражения \(3^{60}+1\) воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Докажем базу индукции - проверим, верно ли утверждение для \(n=1\).
Подставим \(n=1\) в выражение и получим:
\[3^1+1 = 3+1 = 4.\]
Это число явно делится на 2, поскольку 4 делится на 2 без остатка.

Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа \(k\).
То есть предположим, что \(3^k+1\) делится на 2.

Шаг 3: Докажем, что утверждение также верно для \(k+1\).
Выразим \(3^{k+1}+1\) как произведение по формуле \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\):
\[3^{k+1}+1 = 3 \cdot 3^k + 1 = (3 \cdot 3^k - 1) + 2.\]

Теперь внимательно посмотрим на первое слагаемое \((3 \cdot 3^k - 1)\). Применим наше предположение индукции: предположим, что это число делится на 2.

Тогда можно записать \((3 \cdot 3^k - 1) = 2m\), где \(m\) - некоторое целое число.

Подставим это значение обратно в выражение:
\[3^{k+1}+1 = 2m + 2 = 2(m+1).\]

Таким образом, мы получили, что \(3^{k+1}+1\) является произведением числа 2 на целое число \((m+1)\), что означает его деление на 2 без остатка.

Шаг 4: Мы показали, что если предположение верно для некоторого положительного целого числа \(k\), то оно также верно для \(k+1\).

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех положительных целых чисел \(n\), включая \(n=60\).

Итак, мы доказали, что выражение \(3^{60}+1\) делится на 2 без остатка.