Докажите, что время, затраченное на полет тела до падения на землю, в два раза больше времени, затраченного

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся основными законами движения тела и применим их для движения вверх и вниз.

Предположим, что тело было запущено вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\) и достигло своей максимальной высоты \(h\) через время \(t_1\).

1. Подъем к максимальной высоте:
Для расчёта времени подъёма воспользуемся законом сохранения энергии.
По этому закону сумма кинетической энергии тела и его потенциальной энергии всегда остаётся постоянной в течение всего движения.

Начальная кинетическая энергия \(K_1\) равна:
\[K_1 = \frac{1}{2} m v_0^2\]

Когда тело достигает своей максимальной высоты, его кинетическая энергия становится равной нулю, так как скорость тела становится равной нулю. Тогда его потенциальная энергия \(U\) равна:
\[U = mgh\]

где \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с²).

Таким образом, по закону сохранения энергии:
\[K_1 + U = 0\]
\[\frac{1}{2} m v_0^2 + mgh = 0\]
\[\frac{1}{2}v_0^2 + gh = 0\]

Отсюда мы можем найти время подъема \(t_1\) с использованием уравнения движения:
\[h = \frac{1}{2}gt_1^2\]
\[t_1^2 = \frac{2h}{g}\]
\[t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

2. Падение на землю:
Теперь, чтобы доказать, что время полета тела до падения обратно на землю в два раза больше, чем время подъема, давайте рассмотрим падение тела с максимальной высоты \(h\) обратно на землю.

Мы можем использовать уравнение свободного падения для времени падения \(t_2\):
\[h = \frac{1}{2}gt_2^2\]
\[t_2^2 = \frac{2h}{g}\]
\[t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Итак, время подъема \(t_1\) равно времени падения \(t_2\), а именно:
\[t_1 = t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Отсюда видно, что время, затраченное на полет тела до падения на землю, в два раза больше времени, затраченного на его подъем к максимальной высоте.

Таким образом, мы успешно доказали, что время, затраченное на полет тела до падения на землю, в два раза больше времени, затраченного на его подъем к максимальной высоте.