Докажите, что векторы `veca` и `vecb` ортогональны друг другу при условии, что они не являются нулевыми и известно

Для того чтобы доказать, что векторы \(\mathbf{veca}\) и \(\mathbf{vecb}\) ортогональны друг другу, мы можем использовать данное уравнение \(\left|\mathbf{veca} - 17\mathbf{vecb}\right|=\left|\mathbf{veca} + 17\mathbf{vecb}\right|\) и рассмотреть его подробно.

Сначала определим модуль разности двух векторов. Модуль разности двух векторов равен длине вектора, полученного из разности координат исходных векторов. В обозначениях, если \(\mathbf{veca} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\mathbf{vecb} = (b_1, b_2, b_3)\), то модуль разности будет равен

\[
\left|\mathbf{veca} - \mathbf{vecb}\right| = \sqrt{{(a_1 - b_1)}^2 + {(a_2 - b_2)}^2 + {(a_3 - b_3)}^2}
\]

Используя данную формулу, нам дано, что

\[
\left|\mathbf{veca} - 17\mathbf{vecb}\right|=\left|\mathbf{veca} + 17\mathbf{vecb}\right|
\]

Перепишем это уравнение, чтобы выявить его свойства более подробно. Раскрыв скобки справа, мы получим:

\[
\left|\mathbf{veca} - 17\mathbf{vecb}\right|^2=\left|\mathbf{veca} + 17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Мы также знаем, что если векторы ортогональны, то \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2\), и в нашем случае это равенство также выполняется. Поэтому уравнение можно переписать так:

\[
\left|\mathbf{veca} - 17\mathbf{vecb}\right|^2= \left|\mathbf{veca}\right|^2 + \left|17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Далее, мы можем заменить модуль разности векторов согласно определению:

\[
\left[\sqrt{{(a_1 - 17b_1)}^2 + {(a_2 - 17b_2)}^2 + {(a_3 - 17b_3)}^2}\right]^2 = \left| \mathbf{veca}\right|^2 + \left| 17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Упростим уравнение, возводя в квадрат с обеих сторон:

\[
{(a_1 - 17b_1)}^2 + {(a_2 - 17b_2)}^2 + {(a_3 - 17b_3)}^2 = \left| \mathbf{veca}\right|^2 + \left| 17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Теперь посмотрим на данное уравнение. Мы хотим показать, что \(\mathbf{veca}\) и \(\mathbf{vecb}\) ортогональны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю. Обратимся к определению скалярного произведения:

\[
\mathbf{veca}\cdot\mathbf{vecb} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
\]

Так как векторы \(\mathbf{veca}\) и \(\mathbf{vecb}\) ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. То есть

\[
a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0
\]

Теперь вернемся к уравнению

\[
{(a_1 - 17b_1)}^2 + {(a_2 - 17b_2)}^2 + {(a_3 - 17b_3)}^2 = \left|\mathbf{veca}\right|^2 + \left|17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Если мы раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые, мы получим:

\[
a_1^2 - 34a_1b_1 + 289b_1^2 + a_2^2 - 34a_2b_2 + 289b_2^2 + a_3^2 - 34a_3b_3 + 289b_3^2 = \left|\mathbf{veca}\right|^2 + \left|17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Заметим, что здесь у нас есть слагаемые, содержащие \(a_i^2\), \(b_i^2\) и \(34a_ib_i\), и так как \(a_i b_i = - a_ib_i\), где \(a_ib_i\) - слагаемое из скалярного произведения, то и наше уравнение примет вид:

\[
a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 289b_1^2 + 289b_2^2 + 289b_3^2 = \left|\mathbf{veca}\right|^2 + \left|17\mathbf{vecb}\right|^2
\]

Значит, правая и левая части уравнения равны между собой. Так как модули векоров - вещественные числа, можем заменить их на их квадраты и получим

\[
a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 289b_1^2 + 289b_2^2 + 289b_3^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 289b_1^2 + 289b_2^2 + 289b_3^2
\]

Мы видим, что уравнение эквивалентно утверждению \(0 = 0\), которое всегда истинно. Следовательно, исходное уравнение выполняется и векторы \(\mathbf{veca}\) и \(\mathbf{vecb}\) ортогональны друг другу.