Докажите, что вектора m = а + b - c, h = 2a - b + c и p = 8a - b + c лежат в одной плоскости

Для того чтобы доказать, что вектора \(m = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}\), \(h = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}\) и \(p = 8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}\) лежат в одной плоскости, мы сможем воспользоваться понятием линейной зависимости векторов.

В данной задаче нам необходимо проверить, что вектор \(p\) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов \(m\) и \(h\). Для этого сначала найдем коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\) такие, что:

\[
p = \mathbf{m} \cdot \alpha + \mathbf{h} \cdot \beta
\]

Здесь символ "⋅" обозначает операцию скалярного произведения, а символы \(\alpha\) и \(\beta\) - коэффициенты, которые мы должны найти.

Подставим значения векторов \(m\), \(h\) и \(p\) в данное уравнение:

\[
8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = (\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}) \cdot \alpha + (2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot \beta
\]

Раскроем скобки:

\[
8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = \alpha\mathbf{a} + \alpha\mathbf{b} - \alpha\mathbf{c} + \beta(2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c})
\]

Перегруппируем члены схожих символов:

\[
(8\mathbf{a} - \alpha\mathbf{a} - 2\beta\mathbf{a}) + (-\mathbf{b} + \alpha\mathbf{b} + \beta\mathbf{b}) + (\mathbf{c} - \alpha\mathbf{c} + \beta\mathbf{c}) = \mathbf{0}
\]

Теперь сгруппируем векторы с коэффициентами:

\[
(8 - \alpha - 2\beta)\mathbf{a} + (1 + \alpha - \beta)\mathbf{b} + (1 - \alpha + \beta)\mathbf{c} = \mathbf{0}
\]

Для того, чтобы данное уравнение имело ненулевое решение, коэффициенты при векторах \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) должны быть равны нулю:

\[
\begin{cases}
8 - \alpha - 2\beta = 0 \\
1 + \alpha - \beta = 0 \\
1 - \alpha + \beta = 0 \\
\end{cases}
\]

Решив данную систему уравнений, найдем значения \(\alpha\) и \(\beta\). Произведем необходимые вычисления:

\[
\alpha = 3, \quad \beta = 4
\]

Таким образом, мы получили коэффициенты \(\alpha = 3\) и \(\beta = 4\), для которых выполняется уравнение:

\[
8\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = (\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}) \cdot 3 + (2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot 4
\]

Таким образом, мы доказали, что вектора \(m\), \(h\) и \(p\) могут быть выражены в виде линейной комбинации и, следовательно, они лежат в одной плоскости.