Докажите, что в треугольнике с одним тупым углом, сторона, противолежащая тупому углу, длиннее каждой из двух других

Хорошо! Давайте решим эту задачу. Для начала, давайте определимся с терминологией. Тупым углом в треугольнике называется угол, который больше 90 градусов. В нашем случае у нас есть треугольник с одним тупым углом.

Чтобы доказать, что сторона, противолежащая тупому углу, длиннее каждой из двух других сторон, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла в треугольнике равно одинаково для всех трех сторон. Давайте воспользуемся этой теоремой.

Пусть наш треугольник имеет стороны \(a\), \(b\) и \(c\), где сторона \(c\) является стороной, противолежащей тупому углу. Пусть угол, противолежащий стороне \(a\), равен \(\alpha\), угол, противолежащий стороне \(b\), равен \(\beta\), а угол, противолежащий стороне \(c\), равен \(C\).

Тогда, согласно теореме синусов, у нас есть следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Мы знаем, что угол \(C\) является тупым углом, поэтому его синус неотрицательный и меньше 1. Значит, синус угла \(C\) является наименьшим значением синуса среди всех углов в треугольнике.

Теперь давайте рассмотрим отношение длины стороны \(c\) к синусу угла \(C\):

\[\frac{c}{\sin(C)}\]

Так как синус \(C\) меньше или равен 1, то наибольшая длина стороны \(c\) получается, когда синус \(C\) равен 1:

\[\frac{c}{\sin(C)} \geq \frac{c}{1} = c\]

Таким образом, мы доказали, что сторона \(c\) (противолежащая тупому углу) длиннее или равна каждой из двух других сторон.