Докажите, что угол АВС больше 120 градусов в треугольнике АВС, где медиана ВМ меньше половины его сторон АВ

Чтобы доказать, что угол АВС больше 120 градусов, нам понадобится использовать неравенства треугольника и свойства медианы.

Давайте рассмотрим треугольник АВС с медианой ВМ. Заметим, что медиана делит сторону АВ пополам, а значит, BM = MA.

Теперь применим неравенство треугольника. В треугольнике АВС сумма длин любых двух сторон должна быть больше, чем длина третьей стороны. Применим это неравенство к сторонам треугольника АВС.

AB + BC > AC (Неравенство 1)
AC + BC > AB (Неравенство 2)
AB + AC > BC (Неравенство 3)

Теперь проанализируем неравенство 2 (AC + BC > AB). Поскольку медиана ВМ делит сторону АВ пополам, то BM = MA. Значит, мы можем записать это неравенство с учетом медианы:

AC + BM > AB (Неравенство 4)

Также вспомним, что BM = MA от предыдущего замечания. Заменим BM на MA в неравенстве 4:

AC + MA > AB (Неравенство 5)

Теперь объединим неравенства 1 и 5:

AB + BC > AC (Неравенство 1)
AC + MA > AB (Неравенство 5)

Сложим эти два неравенства:

2AB + BC + MA > AC + AC
2AB + BC + MA > 2AC

Теперь мы знаем, что 2AB + BC + MA > 2AC. Заметим, что это неравенство можно переписать, разделив его на 2:

AB + (BC + MA)/2 > AC

Но MA это медиана, а значит BC + MA больше, чем сторона AC. Таким образом, мы можем записать:

AB + (BC + MA)/2 > AC
AB + AC > AC
AB > 0

Из этого следует, что сторона AB должна быть больше нуля.

Теперь, применим неравенство треугольника к неравенству AB + AC > BC (неравенство 3). Поскольку AB больше нуля, можно записать:

AC + AB > BC

Таким образом, получаем, что сумма сторон AC и AB больше стороны BC.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. Мы знаем, что в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусов. Пусть угол А равен х градусов, угол В равен у градусов, а угол С равен z градусов.

Тогда по свойству треугольника мы можем записать:

х + у + z = 180 (Уравнение 1)

Мы хотим доказать, что угол АВС (угол С в треугольнике АВС) больше 120 градусов. Заметим, что угол С равен 180 - (х + у) градусов. Подставим это в уравнение 1:

х + у + (180 - (х + у)) = 180
х + у + 180 - х - у = 180
180 = 180

Наше уравнение верно, что означает, что угол С не может быть равным 180 градусов. Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов.

Значит, угол С меньше 180 градусов. Из неравенства треугольника AB + AC > BC мы знаем, что сторона AB больше стороны BC. Это означает, что угол С больше угла В (угол ВСА) в треугольнике.

Поскольку угол ВСА (угол В) меньше угла С, угол С в треугольнике АВС должен быть больше 120 градусов.

Таким образом, мы доказали, что угол АВС больше 120 градусов в треугольнике АВС, где медиана ВМ меньше половины его сторон АВ.