Докажите, что у призмы основания расположены в параллельных плоскостях и имеют одинаковые размеры, а боковые ребра

Для начала, давайте разберемся с определением призмы. Призма - это геометрическое тело, которое имеет два одинаковых и параллельных многоугольных основания, и все рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований, являются параллельными.

Итак, докажем, что у призмы основания расположены в параллельных плоскостях и имеют одинаковые размеры:

1. Рассмотрим призму с основаниями A₁B₁C₁D₁ и A₂B₂C₂D₂, где A₁B₁C₁D₁ - верхнее основание, A₂B₂C₂D₂ - нижнее основание.

2. Допустим, что основания призмы не находятся в параллельных плоскостях. Тогда, чтобы убедиться в этом, рассмотрим прямую, проходящую через две противоположные вершины оснований A₁ и A₂.

3. Заметим, что этой прямой принадлежат две параллельные стороны призмы: A₁B₁ и A₂B₂.

4. Также заметим, что этой прямой принадлежат две другие параллельные стороны призмы: A₁D₁ и A₂D₂.

5. Отсюда следует, что прямая проходит через два параллельных и непересекающихся отрезка. Тем самым, получаем противоречие.

6. Следовательно, основания призмы должны находиться в параллельных плоскостях.

Теперь докажем, что боковые ребра призмы параллельны и одинаковы:

1. Рассмотрим боковую грань призмы, которая образована сторонами A₁B₁ и A₂B₂.

2. Так как A₁B₁ параллельно A₂B₂ (так как основания призмы лежат в параллельных плоскостях), то все ребра соединяющие соответствующие вершины этих оснований, включая боковые ребра, также параллельны.

3. Допустим, что боковые ребра не являются одинаковыми. То есть, пусть длина боковых ребер, соединяющих вершины A₁ и A₂, не равна длине боковых ребер, соединяющих вершины B₁ и B₂.

4. В таком случае, получим параллелограмм ABCD, где AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CD = C₁D₁ и AD = A₁D₁.

5. Но так как ABCD - параллелограмм, то AD параллельно BC, что противоречит определению призмы, где все ребра, соединяющие основания, должны быть параллельны.

6. Следовательно, боковые ребра призмы должны быть одинаковыми.

Таким образом, мы доказали, что у призмы основания расположены в параллельных плоскостях и имеют одинаковые размеры, боковые ребра параллельны и одинаковы, а боковые грани являются параллелограммами.