Докажите, что треугольник с вершинами в точках A(2;0;3), B(0;1;2) и C(1;2;4) является равнобедренным. Найдите длину

Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нам нужно показать, что две из его сторон имеют одинаковую длину. Для этого нам нужно вычислить длины всех сторон треугольника.

Длина стороны AB может быть найдена с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]

Подставляя координаты точек A(2;0;3) и B(0;1;2) в эту формулу, мы получим:

\[AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 0)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\]

Аналогично, длина стороны AC:

\[AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}\]

Подставляя координаты точек A(2;0;3) и C(1;2;4):

\[AC = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\]

И, наконец, длина стороны BC:

\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\]

Подставляя координаты точек B(0;1;2) и C(1;2;4):

\[BC = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\]

Мы видим, что все стороны треугольника имеют одинаковую длину \(\sqrt{6}\). Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.

Чтобы найти длину средней линии треугольника, соединяющей его боковые стороны, мы можем найти половину суммы длин двух равных сторон (AB и AC). Это можно записать следующим образом:

\[BC_{\text{средняя линия}} = \frac{AB + AC}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}\]

Итак, длина средней линии треугольника равна \(\sqrt{6}\).