Докажите, что сумма наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, и перпендикуляра, проведенного из

Чтобы доказать данное утверждение, нам понадобится использовать некоторые геометрические теоремы и определения.

Пусть у нас имеется точка P, из которой проведена наклонная PQ к прямой AB, а также перпендикуляр PR, опущенный из этой же точки к этой прямой, как показано на рисунке.

\[AB\] - данная прямая
\[PQ\] - наклонная
\[PR\] - перпендикуляр

\[AB\], \[PQ\] и \[PR\] образуют прямоугольный треугольник PQR.

Теперь давайте рассмотрим проекцию наклонной на прямую. Обозначим эту проекцию как \[PM\].

На рисунке это будет отмечено следующим образом:

\[PM\] - проекция наклонной

Заметим, что треугольник PQR схож по прямому подобию с треугольником PAM, где \[AM\] - проекция наклонной на прямую.

Теперь, используя свойства подобных треугольников, мы можем составить пропорцию в треугольнике PQR:

\[\frac{PR}{PQ} = \frac{PM}{PA}\]

Отсюда можно выразить \[PM\]:

\[PM = \frac{PR \cdot PA}{PQ}\]

Вспомним, что треугольник PQR является прямоугольным. Это означает, что стороны \[PR\] и \[PQ\] являются катетами, а гипотенузой является сторона \[QR\].

Так как сторона \[PR\] больше стороны \[PM\], гипотенуза \[QR\] будет также больше стороны \[AM\].

Таким образом, мы получаем следующее:

\[QR > AM\]

Так как гипотенуза \[QR\] представляет собой сумму наклонной и перпендикуляра, а \[AM\] - проекцию наклонной, то получается следующее неравенство:

\[QR > PQ + PR\]

То есть, сумма наклонной и перпендикуляра больше проекции наклонной:

\[PQ + PR > PM\]

Данное неравенство доказывает, что сумма наклонной и перпендикуляра больше проекции наклонной, что и требовалось доказать.