Докажите, что следующие функции являются нечетными: 1) y = x3 + ctg2x; 2) y = x - tgx; 3) y = (2 - х? )tgx; 4) y

Давайте докажем, что каждая из данных функций является нечетной. Для того чтобы функция была нечетной, она должна удовлетворять свойству \( f(-x) = -f(x) \).

1) Функция: \( y = x^3 + \cot^2 x \)

Для начала, заметим, что в данной функции есть два слагаемых: \( x^3 \) и \( \cot^2 x \).

Проверим свойство для каждого из них:

- \( f(-x) = (-x)^3 + \cot^2 (-x) \)
- \( -f(x) = -x^3 - \cot^2 x \)

Заметим, что \( \cot^2(-x) \) и \( -\cot^2 x \) равны между собой, так как котангенс - нечетная функция (\( \cot(-x) = -\cot x \)).

Теперь рассмотрим \( (-x)^3 \) и \( -x^3 \):
\( (-x)^3 = -x^3 \)
Таким образом, получаем:
\( f(-x) = -f(x) \)

Из этого следует, что функция \( y = x^3 + \cot^2 x \) является нечетной.

2) Функция: \( y = x - \tan x \)

Снова проверим свойство для каждого слагаемого:

- \( f(-x) = (-x) - \tan(-x) \)
- \( -f(x) = -x + \tan x \)

Заметим, что \( \tan (-x) \) и \( -\tan x \) равны между собой, так как тангенс - нечетная функция (\( \tan (-x) = -\tan x \)).

Таким образом, получаем:
\( f(-x) = -f(x) \)

Функция \( y = x - \tan x \) является нечетной.

3) Функция: \( y = (2 - x^2)\tan x \)

Теперь проверим свойство:

- \( f(-x) = (2 - (-x)^2) \tan(-x) \)
- \( -f(x) = (-2 + x^2) \tan x \)

Мы также знаем, что \( \tan (-x) \) и \( -\tan x \) равны между собой.

Таким образом, получаем:
\( f(-x) = -f(x) \)

Функция \( y = (2 - x^2)\tan x \) является нечетной.

4) Функция: \( y = 2x - \tan x \)

Проверим свойство:

- \( f(-x) = 2(-x) - \tan(-x) \)
- \( -f(x) = -2x + \tan x \)

Мы также знаем, что \( \tan (-x) \) и \( -\tan x \) равны между собой.

Таким образом, получаем:
\( f(-x) = -f(x) \)

Функция \( y = 2x - \tan x \) является нечетной.

5) Функция: \( y = \frac{-x}{\cot 5x + \sin^3 x} \)

Проверим свойство:

- \( f(-x) = \frac{-(-x)}{\cot (5(-x)) + \sin^3 (-x)} \)
- \( -f(x) = \frac{x}{\cot 5x + \sin^3 x} \)

Мы также знаем, что \( \cot (-x) \) и \( -\cot x \) равны между собой, а также \( \sin (-x) \) и \( -\sin x \) равны между собой.

Таким образом, получаем:
\( f(-x) = -f(x) \)

Функция \( y = \frac{-x}{\cot 5x + \sin^3 x} \) является нечетной.

6) Функция: \( y = \tan^6 x \)

Проверим свойство:

- \( f(-x) = \tan^6 (-x) \)
- \( -f(x) = -\tan^6 x \)

Мы знаем, что \( \tan (-x) \) и \( -\tan x \) равны между собой.

Таким образом, получаем:
\( f(-x) = -f(x) \)

Функция \( y = \tan^6 x \) является нечетной.

Таким образом, мы доказали, что все шесть функций являются нечетными.