Докажите, что разность между двумя числами на доске, такими как 2, 4, 8, 16, ..., 2^100, является кратной числу

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

Для начала, нам необходимо определить, что значит "число \(a\) является кратным числу \(b\)". Кратность означает, что число \(a\) можно представить в виде произведения числа \(b\) на какое-то целое число \(k\). То есть, если число \(a\) кратно числу \(b\), мы можем записать \(a = b \cdot k\), где \(k\) - целое число.

Теперь, чтобы доказать, что разность между двумя числами на доске, заданными как 2, 4, 8, 16, ..., \(2^{100}\), является кратной числу, мы должны показать, что разность можно представить в виде произведения этого числа на некоторое целое число \(k\).

Давайте возьмем два соседних числа на доске, скажем \(x_1\) и \(x_2\). В данном случае, \(x_1 = 2^0 = 1\) и \(x_2 = 2^1 = 2\). Их разность будет \(x_2 - x_1 = 2 - 1 = 1\).

Теперь рассмотрим разность между другими соседними числами на доске. Например, разность между \(x_2\) и следующим числом \(x_3\) равна \(x_3 - x_2 = 2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2\). Похожим образом, разность между \(x_3\) и следующим числом \(x_4\) равна \(x_4 - x_3 = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4\).

Мы видим, что разность между каждой парой соседних чисел на доске равна степени двойки. Мы можем записать эту разность как \(2^k\), где \(k\) - порядковый номер разности. Например, для первой разности \(k = 0\), для второй разности \(k = 1\), для третьей разности \(k = 2\) и так далее.

Теперь мы можем выразить разность между любыми двумя числами на доске с помощью порядкового номера разности. Пусть \(n\) - порядковый номер первого числа (2 в данном случае), а \(m\) - порядковый номер второго числа (2 в данном случае).

Тогда разность между двумя числами будет \(2^m - 2^n\). Мы можем записать это выражение следующим образом:

\[2^m - 2^n = 2^n \cdot (2^{m - n} - 1).\]

Таким образом, мы получили произведение числа \(2^n\) (в нашем случае \(b\)) на целое число \(2^{m - n} - 1\) (в нашем случае \(k\)). Итак, разность между двумя числами на доске является произведением числа на целое число, что означает, что она является кратной числу. Доказательство завершено.

Надеюсь, это доказательство понятно для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!