Докажите, что последовательность увеличивается: cn=5n/n+1 . ответ: 1. Укажите, какое соотношение верно

Давайте докажем, что последовательность \(c_n = \frac{5n}{n+1}\) является возрастающей. Для этого мы будем сравнивать каждый элемент последовательности с последующим.

1. Начнем сравнение со случая \(c_1\) и \(c_2\):

\(c_1 = \frac{5 \cdot 1}{1+1} = \frac{5}{2}\),
\(c_2 = \frac{5 \cdot 2}{2+1} = \frac{10}{3}\).

Для того, чтобы доказать, что \(c_1 > c_2\), мы можем выполнить простое сравнение:
\(\frac{5}{2} > \frac{10}{3}\).

Для удобства выполним умножение обоих дробей на 6, чтобы избавиться от дробей:
\(15 > 20\).

Таким образом, мы видим, что \(c_1\) больше \(c_2\), и это подтверждает, что первое соотношение верно.

2. Перейдем к сравнению \(c_2\) и \(c_3\):

\(c_2 = \frac{10}{3}\),
\(c_3 = \frac{5 \cdot 3}{3+1} = \frac{15}{4}\).

Для доказательства \(c_2 > c_3\), выполним сравнение:
\(\frac{10}{3} > \frac{15}{4}\).

Домножим оба числа на 12, чтобы избавиться от дробей:
\(40 > 45\).

Следовательно, мы видим, что \(c_2\) больше \(c_3\), и второе соотношение установлено.

3. Продолжим последовательное сравнение \(c_3\) и \(c_4\), \(c_4\) и \(c_5\), и так далее:

\(c_3 = \frac{15}{4}\),
\(c_4 = \frac{5 \cdot 4}{4+1} = \frac{20}{5} = 4\).

\(\frac{15}{4} > 4\).

Опять же, мы видим, что \(c_3\) больше \(c_4\).

Мы можем продолжить это сравнение для любых двух последовательных членов \(c_n\) и \(c_{n+1}\). Во всех случаях последующий член окажется меньше предыдущего.

Таким образом, мы убедились, что последовательность \(c_n = \frac{5n}{n+1}\) является увеличивающейся.