Докажите, что плоскости SAD и прямоугольника ABCD перпендикулярны друг другу

Чтобы доказать, что плоскости SAD и прямоугольник ABCD перпендикулярны друг другу, нам понадобится использовать определение перпендикулярности плоскостей и применить его к данным плоскостям.

Перепроверим данную задачу: поскольку у нас есть прямоугольник ABCD, это значит, что у нас есть четыре точки: A, B, C и D. Плоскость SAD формируется тремя точками: S, A и D.

Определение перпендикулярности плоскостей гласит, что две плоскости называются перпендикулярными, если вектор нормали одной плоскости перпендикулярен вектору нормали другой плоскости.

Первым шагом давайте найдем нормали к плоскости SAD и прямоугольнику ABCD. Чтобы найти нормаль плоскости, нам понадобятся три неколлинеарные точки, лежащие в данной плоскости.

У нас есть точки A, D и S, которые лежат на плоскости SAD. Для нахождения вектора нормали к этой плоскости мы можем взять два вектора, образованных произведением векторных произведений:

\(\vec{AD}\) и \(\vec{AS}\).

Пусть \(\vec{u} = \vec{AD}\) и \(\vec{v} = \vec{AS}\).

Теперь мы можем найти векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости SAD.

\(\vec{n}_1 = \vec{u} \times \vec{v}\)

Точно таким же образом мы найдем нормаль к прямоугольнику ABCD, используя векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\). Пусть \(\vec{w} = \vec{AB}\).

\(\vec{n}_2 = \vec{u} \times \vec{w}\)

Теперь, когда мы нашли нормали к обеим плоскостям, проверим, перпендикулярны ли они друг другу. Для этого мы рассчитаем скалярное произведение между нормалями двух плоскостей. Если оно равно нулю, то плоскости перпендикулярны.

\(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\)

Если это равенство выполняется, то мы можем заключить, что плоскости SAD и прямоугольник ABCD перпендикулярны друг другу.

Обоснование:
1. Взяли три точки на плоскости SAD: точки A, D, S.
2. Построили векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{AS}\).
3. Нашли векторное произведение \(\vec{u} \times \vec{v}\) и получили вектор нормали \(\vec{n}_1\) к плоскости SAD.
4. Взяли две точки на прямоугольнике ABCD: точки A, B.
5. Построили векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
6. Нашли векторное произведение \(\vec{u} \times \vec{w}\) и получили вектор нормали \(\vec{n}_2\) к прямоугольнику ABCD.
7. Рассчитали скалярное произведение \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\).
8. Если \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0\), то плоскости SAD и прямоугольник ABCD перпендикулярны друг другу.