Докажите, что перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольного треугольника АВС (С=90). С использованием произвольной точки

Для доказательства перпендикулярности отрезка МВ к плоскости прямоугольного треугольника АВС (С=90°) мы можем применить свойство, которое гласит: если отрезок проведен из вершины прямого угла перпендикулярно к гипотенузе прямоугольного треугольника, то он делит эту гипотенузу на две равные части.

Рассмотрим треугольник АВС, где С - прямой угол. Проведем наклонную МС и отметим на ней произвольную точку Е. Теперь проведем отрезок DE параллельно гипотенузе АВ.

Для начала, давайте докажем, что МВ перпендикулярен плоскости треугольника АВС. Для этого нужно показать, что угол МBC прямой.

Из построения мы видим, что треугольники BMС и BAE подобны, так как угол B одинаковый и уголы МBC и EBA - прямые. Используя свойство подобных треугольников, мы можем установить следующее соотношение соответствующих сторон:

\(\frac{MB}{BA} = \frac{MC}{EA}\)

Также, так как треугольник АВС прямоугольный, то можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\(AB^2 = BA^2 + AC^2\)

С учетом того, что треугольники BMС и BAE подобны, у нас также должно выполняться:

\(\frac{MB}{BA} = \frac{MC}{EA} = \frac{BS}{AB}\)

Мы можем выразить MC и BS через BA:

\(MC = \frac{BA \cdot MC}{BA}\)
\(BS = \frac{BA \cdot BS}{BA}\)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\(\frac{MB}{BA} = \frac{\frac{BA \cdot MC}{BA}}{EA} = \frac{MC}{EA} = \frac{BS}{AB}\)

Сокращаем BA:

\(\frac{MB}{1} = \frac{MC}{EA} = \frac{BS}{AB}\)

Из этого соотношения видно, что \(MB=MC\) или \(MB=BS\). Это означает, что МВ делит отрезок AC на две равные части, что говорит о его перпендикулярности к плоскости АВС.

Теперь, чтобы доказать параллельность отрезка DE, мы можем воспользоваться свойством проекций: если две прямые линии параллельны к плоскости, и третья прямая пересекает их, то ее проекции на эту плоскость будут параллельны.

Так как МВ перпендикулярен плоскости АВС, МВ параллельно гипотенузе. Отрезок DE параллелен гипотенузе. Следовательно, проекции отрезков DE и МВ на плоскость основания АВС также будут параллельны.

Таким образом, перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольного треугольника АВС доказан, и параллельность отрезка DE также доказана.