Докажите, что параллелограмм образуется из остальных четырех вершин, совпадающих с парой противоположных вершин

Для доказательства этого факта рассмотрим параллелограмм ABCD со сторонами AB, BC, CD и DA и его диагонали AC и BD.

1. Докажем, что стороны AB и CD параллельны.
Предположим, что стороны AB и CD не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке P.

\[
\begin{align*}
\angle APB &= 180^\circ - \angle PAB - \angle PBA \\
\angle CPD &= 180^\circ - \angle PCD - \angle PDC
\end{align*}
\]

Следовательно, \(\angle APB + \angle CPD = 360^\circ - (\angle PAB + \angle PCD + \angle PBA + \angle PDC) = 360^\circ - 360^\circ = 0^\circ\).

Так как сумма двух углов равна нулю, то это означает, что \(\angle APB\) и \(\angle CPD\) должны быть равны нулю, что невозможно. Следовательно, стороны AB и CD должны быть параллельны.

2. Докажем, что стороны BC и AD параллельны.
Предположим, что стороны BC и AD не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке Q.

\[
\begin{align*}
\angle BQA &= 180^\circ - \angle QBA - \angle QAB \\
\angle DQC &= 180^\circ - \angle QCD - \angle QDC
\end{align*}
\]

Следовательно, \(\angle BQA + \angle DQC = 360^\circ - (\angle QBA + \angle QAB + \angle QCD + \angle QDC) = 360^\circ - 360^\circ = 0^\circ\).

Так как сумма двух углов равна нулю, то это означает, что \(\angle BQA\) и \(\angle DQC\) должны быть равны нулю, что невозможно. Следовательно, стороны BC и AD должны быть параллельны.

Таким образом, мы доказали, что стороны AB и CD, а также стороны BC и AD параллельны. Это означает, что параллелограмм образуется из остальных четырех вершин, совпадающих с парой противоположных вершин.