У нас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где АК:КВ=3:2 и A1T:TD1=1:4. Нужно разложить следующие векторы: а) Разложите

Хорошо, решим каждую из задач по порядку.

а) Разложение вектора \( \overrightarrow{AK} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

У нас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где \( \overrightarrow{AK} : \overrightarrow{KB} = 3 : 2 \). Это означает, что вектор \( \overrightarrow{AK} \) можно представить в виде суммы векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AD} \), умноженных на соответствующие коэффициенты.

Так как \( \overrightarrow{AK} : \overrightarrow{KB} = 3 : 2 \), то \( \overrightarrow{AB} : \overrightarrow{KB} = 3 : 2 \). Таким образом, можно сказать, что \( \overrightarrow{AB} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AK} \) и \( \overrightarrow{KB} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AK} \).

Также, у нас есть отношение \( \overrightarrow{A1T} : \overrightarrow{TD1} = 1 : 4 \). Это означает, что вектор \( \overrightarrow{AA1} \) можно представить в виде суммы векторов \( \overrightarrow{AT} \) и \( \overrightarrow{AT} \), умноженных на соответствующие коэффициенты.

Так как \( \overrightarrow{A1T} : \overrightarrow{TD1} = 1 : 4 \), то \( \overrightarrow{AT} : \overrightarrow{TD} = 1 : 4 \), поэтому \( \overrightarrow{AT} = \frac{1}{5} \overrightarrow{AA1} \) и \( \overrightarrow{TD} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AA1} \).

Теперь, имея все эти соотношения, мы можем разложить вектор \( \overrightarrow{AK} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \):

\[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA1} \]
\[ = \frac{3}{5} \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AT} + \frac{4}{5} \overrightarrow{TD} \]
\[ = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \overrightarrow{AK} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \overrightarrow{AK} \]

Теперь объединим все коэффициенты при векторе \( \overrightarrow{AK} \):

\[ 1 = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \]

\[ 1 = \frac{6}{25} + \frac{1}{25} + \frac{16}{25} \]

\[ 1 = \frac{23}{25} \]

Отсюда получаем, что \( \overrightarrow{AK} = \frac{25}{23} (\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \overrightarrow{AK} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \overrightarrow{AK}) \)

Обозначим разложение вектора \( \overrightarrow{AK} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \) как \( \overrightarrow{AK} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AD} + z \overrightarrow{AA1} \).

Тогда можно записать систему уравнений:

\[ \begin{cases} x = \frac{25}{23} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \\ y = \frac{25}{23} \\ z = \frac{25}{23} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{25}{23} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \end{cases} \]

Решая эту систему, получаем:

\[ \begin{cases} x \approx 0.5217 \\ y \approx 1.0869 \\ z \approx 2.0652 \end{cases} \]

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AK} \) можно разложить по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \) следующим образом:

\[ \overrightarrow{AK} \approx 0.5217 \overrightarrow{AB} + 1.0869 \overrightarrow{AD} + 2.0652 \overrightarrow{AA1} \]

Точный ответ получается после округления. Ответ: \( \overrightarrow{AK} \approx 0.5217 \overrightarrow{AB} + 1.0869 \overrightarrow{AD} + 2.0652 \overrightarrow{AA1} \).

б) Разложите вектор \( \overrightarrow{AT} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

Разложение вектора \( \overrightarrow{AT} \) можно получить из разложения вектора \( \overrightarrow{AK} \), так как \( \overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KT} \).

Таким образом:

\[ \overrightarrow{AT} \approx 0.5217 \overrightarrow{AB} + 1.0869 \overrightarrow{AD} + 2.0652 \overrightarrow{AA1} + \overrightarrow{KT} \]

в) Разложите вектор \( \overrightarrow{AC} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

Разложение вектора \( \overrightarrow{AC} \) можно получить из разложения вектора \( \overrightarrow{AK} \), так как \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KC} \).

Таким образом:

\[ \overrightarrow{AC} \approx 0.5217 \overrightarrow{AB} + 1.0869 \overrightarrow{AD} + 2.0652 \overrightarrow{AA1} + \overrightarrow{KC} \]

г) Разложите вектор \( \overrightarrow{DT} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

Разложение вектора \( \overrightarrow{DT} \) можно получить из разложения вектора \( \overrightarrow{TD} \), так как \( \overrightarrow{DT} = -\overrightarrow{TD} \).

Таким образом:

\[ \overrightarrow{DT} \approx -\frac{4}{5} \overrightarrow{AA1} + -\frac{4}{5} \overrightarrow{TD} \]

д) Разложите вектор \( \overrightarrow{DK} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

Разложение вектора \( \overrightarrow{DK} \) можно получить из разложения вектора \( \overrightarrow{DT} \), так как \( \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DT} + \overrightarrow{TK} \).

Таким образом:

\[ \overrightarrow{DK} \approx -\frac{4}{5} \overrightarrow{AA1} + -\frac{4}{5} \overrightarrow{TD} + \overrightarrow{TK} \]

е) Разложите вектор \( \overrightarrow{AC1} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

Разложение вектора \( \overrightarrow{AC1} \) можно получить из разложения вектора \( \overrightarrow{AC} \), так как \( \overrightarrow{AC1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C1C} \).

Таким образом:

\[ \overrightarrow{AC1} \approx 0.5217 \overrightarrow{AB} + 1.0869 \overrightarrow{AD} + 2.0652 \overrightarrow{AA1} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{C1C} \]

ж) Разложите вектор \( \overrightarrow{KT} \) по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \).

Разложение вектора \( \overrightarrow{KT} \) можно получить из разложения вектора \( \overrightarrow{AT} \), так как \( \overrightarrow{KT} = \overrightarrow{AT} - \overrightarrow{AK} \).

Таким образом:

\[ \overrightarrow{KT} \approx 0.5217 \overrightarrow{AB} + 1.0869 \overrightarrow{AD} + 2.0652 \overrightarrow{AA1} + \overrightarrow{KT} - 0.5217 \overrightarrow{AB} - 1.0869 \overrightarrow{AD} - 2.0652 \overrightarrow{AA1} \]

Отсюда получаем, что \( \overrightarrow{KT} \approx \overrightarrow{0} \).

Надеюсь, это разъясняет, как разложить каждый из векторов по векторам \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA1} \). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!