Докажите, что отрезок МК принадлежит плоскости

Чтобы доказать, что отрезок \(МК\) принадлежит плоскости, нужно показать, что все точки этого отрезка также принадлежат плоскости. Для этого мы можем использовать понятие координат и уравнения плоскости.

Предположим, что у нас имеется плоскость \(P\) с уравнением \(ax + by + cz + d = 0\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) - это коэффициенты уравнения плоскости.

Рассмотрим две точки на отрезке \(МК\), которые мы обозначим как \(М(x_1, y_1, z_1)\) и \(K(x_2, y_2, z_2)\).

Чтобы доказать, что отрезок \(МК\) принадлежит плоскости, мы должны показать, что для любых значений \(t\) в интервале от 0 до 1, точка \(P(t)\) на отрезке \(МК\) также принадлежит плоскости.

Точка \(P(t)\) может быть найдена, используя параметрическое представление отрезка \(МК\):

\[P(t) = М + t \cdot (K - М)\]

Теперь, заменяя значения \(М\) и \(К\) в параметрическом представлении, получим:

\[P(t) = (x_1, y_1, z_1) + t \cdot [(x_2 - x_1), (y_2 - y_1), (z_2 - z_1)]\]

Разложим уравнение на координаты:

\[P(t) = (x_1 + t(x_2 - x_1), y_1 + t(y_2 - y_1), z_1 + t(z_2 - z_1))\]

Теперь, заменяя значения \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении плоскости \(ax + by + cz + d = 0\) на значения из параметрического представления, получим:

\[a(x_1 + t(x_2 - x_1)) + b(y_1 + t(y_2 - y_1)) + c(z_1 + t(z_2 - z_1)) + d = 0\]

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

\[ax_1 + t(ax_2 - ax_1) + by_1 + t(by_2 - by_1) + cz_1 + t(cz_2 - cz_1) + d = 0\]

Независимо от значения параметра \(t\), все слагаемые, кроме константы \(d\), в данном уравнении будут равны нулю. Это происходит потому, что точка \(P(t)\) лежит на прямой, проходящей через точки \(M\) и \(K\).

Следовательно, уравнение упрощается до:

\[ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0\]

Это означает, что точка \(P(t)\) также принадлежит плоскости, так как она удовлетворяет уравнению плоскости. Таким образом, отрезок \(МК\) принадлежит плоскости.