Докажите, что линии ab и a1b1 находятся в одной плоскости, при условии, что прямые a и b параллельны, а точки a

Линии ab и a1b1 находятся в одной плоскости, если они лежат на одной плоскости и прямые a и b параллельны. Докажем это.

Поскольку прямые a и b параллельны, их направляющие векторы также параллельны. Обозначим направляющие векторы прямых a и b как \(\vec{n_a}\) и \(\vec{n_b}\) соответственно.

Таким образом, у нас есть \(\vec{n_a} \parallel \vec{n_b}\).

Из определения линии следует, что она может быть задана векторным уравнением:

\(\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{n}\),

где \(\vec{r}\) - позиционный вектор точки на линии, \(\vec{r_0}\) - позиционный вектор начальной точки линии, \(t\) - параметр, \(\vec{n}\) - направляющий вектор линии.

Для линии ab у нас есть векторное уравнение:

\(\vec{r_{ab}} = \vec{r_{a}} + s\vec{n_a}\),

где \(\vec{r_{ab}}\) - позиционный вектор точки на линии ab, \(\vec{r_{a}}\) - позиционный вектор точки a на прямой a, \(s\) - параметр.

Аналогично, для линии a1b1 у нас есть векторное уравнение:

\(\vec{r_{a1b1}} = \vec{r_{a1}} + u\vec{n_a}\).

Теперь докажем, что линии ab и a1b1 лежат в одной плоскости. Для этого нужно доказать, что существуют такие значения параметров s и u, при которых векторное уравнение для обеих линий будет выполняться одновременно.

Подставим векторное уравнение линии ab в векторное уравнение линии a1b1:

\(\vec{r_{a1b1}} = \vec{r_{a1}} + u\vec{n_a} = \vec{r_{a}} + s\vec{n_a} + u\vec{n_a}\).

Объединяя подобные слагаемые, получим:

\(\vec{r_{a1b1}} = \vec{r_{a}} + (s + u)\vec{n_a}\).

Таким образом, мы получили векторное уравнение точки, лежащей на линии a1b1, с тем же направляющим вектором \(\vec{n_a}\), что и у линии ab.

Значит, линии ab и a1b1 лежат в одной плоскости, так как обе линии имеют одинаковый направляющий вектор и заданы векторными уравнениями, в которых параметры s и u могут получать одинаковые значения.

Таким образом, мы доказали, что линии ab и a1b1 находятся в одной плоскости при условии, что прямые a и b параллельны, а точки a и a1 лежат на линии a, а точки b и b1 лежат на линии b.