Докажите, что если две смежные вершины четырехугольника и точка пересечения его диагоналей лежат в одной плоскости

Чтобы доказать, что две другие вершины четырехугольника также лежат в той же плоскости, нам потребуется использовать свойство четырехугольника с диагоналями. Давайте рассмотрим четырехугольник ABCD.

Предположим, что вершины A, B и точка пересечения диагоналей M лежат в одной плоскости. Теперь нам нужно доказать, что и вершины C и D также лежат в этой же плоскости.

1. Начнем с построения диагоналей AC и BD.
2. Поскольку М - точка пересечения диагоналей, она также является серединой обеих диагоналей. Это означает, что AM = MC и BM = MD.
3. Рассмотрим треугольник AMC. У нас есть две равные стороны AM и MC, и угол AMB, в который они входят, является общим углом двух треугольников. Следовательно, по теореме о равенстве треугольников, треугольники AMC и BMD равны.
4. Это означает, что углы AMB и CMD также равны. Таким образом, смежные углы AMB и CMD лежат в одном вертикальном углу, а если два угла лежат в одном вертикальном углу и оба они острые или оба тупые, то эти углы лежат в одной плоскости.
5. Теперь рассмотрим треугольник BMD. У нас есть две равные стороны BM и MD, и угол MAC, в который они входят, является общим углом двух треугольников. Следовательно, по теореме о равенстве треугольников, треугольники BMD и AMD равны.
6. Значит, углы BMD и AMD также равны. Таким образом, смежные углы BMD и AMD лежат в одном вертикальном углу и, следовательно, лежат в одной плоскости.
7. Мы доказали, что все четыре угла четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости.
8. Следовательно, все его вершины также лежат в этой же плоскости.

Таким образом, мы показали, что если две смежные вершины четырехугольника и точка пересечения его диагоналей лежат в одной плоскости, то и две другие вершины также лежат в этой плоскости.