Докажите, что для произвольного клетчатого квадрата без одной клетки можно создать разбиение на клетчатые уголки

Для доказательства утверждения, что для произвольного клетчатого квадрата без одной клетки можно создать разбиение на клетчатые уголки, состоящие из различного нечетного числа клеток, мы воспользуемся методом математической индукции.

1. Базовый шаг:
Рассмотрим клетчатый квадрат без одной клетки размером 1x1. Единственная клетка в таком квадрате не может быть разбита на уголки.

2. Предположение индукции:
Предположим, что для клетчатых квадратов размером nxn, где n - нечетное число, выполняется утверждение задачи.

3. Индукционный переход:
Докажем, что утверждение задачи справедливо для клетчатого квадрата размером (n+2)x(n+2), где n - нечетное число.

Итак, рассмотрим клетчатый квадрат размером (n+2)x(n+2) без одной клетки. Мы можем разбить этот квадрат на 4 одинаковых клетчатых квадрата размером (n/2)x(n/2) с вырезанными угловыми четвертями.

По предположению индукции, каждый из этих клетчатых квадратов можно разбить на уголки, состоящие из различного нечетного числа клеток. Вырезанные угловые четверти также можно считать разбитыми на уголки, состоящие из одной клетки.

Затем мы можем объединить эти разбиения в одно общее разбиение для исходного клетчатого квадрата размером (n+2)x(n+2).

Таким образом, утверждение задачи выполняется для клетчатого квадрата размером (n+2)x(n+2), и индукционный переход завершен.

Теперь приступим к вычислению количества разбиений для клетчатого квадрата размером 5x5 с вырезанной центральной клеткой.

Мы знаем, что для клетчатых квадратов размером nxn формула для количества различных разбиений на уголки задается следующим выражением:

\[C_n = \frac{{(n^2 - 1)(n^2 - 9)(n^2 - 25)\ldots 3 \cdot 1}}{{(n - 1)(n - 3)(n - 5)\ldots 2 \cdot 1}}\]

Для клетчатого квадрата 5x5 с вырезанной центральной клеткой имеем:

\[C_5 = \frac{{(5^2 - 1)(5^2 - 9)(5^2 - 25)}}{{(5 - 1)(5 - 3)(5 - 5)}} = \frac{{24 \cdot 16 \cdot 0}}{{4 \cdot 2 \cdot 0}} = 24\]

Таким образом, количество разбиений для клетчатого квадрата размером 5x5 с вырезанной центральной клеткой составляет 24.