Докажите, что четырехугольник является параллелограммом, и определите его центр симметрии, если известны координаты

Чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, нужно проверить, выполняется ли одно из двух условий: противоположные стороны параллельны и равны или противоположные углы равны. Начнем с первого условия.

Чтобы проверить, являются ли противоположные стороны параллельными, нужно вычислить векторы каждой стороны и убедиться, что они коллинеарны (т.е. параллельны друг другу).

Вектор AB можно получить, вычислив разность координат точек A и B:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)
\(\overrightarrow{AB} = (-5;-6;-1) - (-2;-4;1)\)
\(\overrightarrow{AB} = (-3;-2;-2)\)

Вектор CD можно получить, вычислив разность координат точек C и D:

\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}\)
\(\overrightarrow{CD} = (7;12;5) - (4;10;3)\)
\(\overrightarrow{CD} = (3;2;2)\)

Если \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) параллельны, то их координатные направляющие числа должны быть пропорциональны друг другу. Проверим это:

\(\frac{3}{-3} = \frac{2}{-2} = \frac{2}{-2}\)

Координатные направляющие числа \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) пропорциональны, поэтому противоположные стороны параллельны.

Теперь проверим, равны ли противоположные стороны.

Длина стороны AB:

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-2)^2}\)
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 4 + 4}\)
\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{17}\)

Длина стороны CD:

\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2}\)
\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{9 + 4 + 4}\)
\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{17}\)

Таким образом, стороны AB и CD равны по длине.

Теперь перейдем ко второму условию: проверке равенства противоположных углов.

Вектор BC можно получить, вычислив разность координат точек B и C:

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\)
\(\overrightarrow{BC} = (4;10;3) - (-5;-6;-1)\)
\(\overrightarrow{BC} = (9;16;4)\)

Вектор AD можно получить, вычислив разность координат точек A и D:

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)
\(\overrightarrow{AD} = (7;12;5) - (-2;-4;1)\)
\(\overrightarrow{AD} = (9;16;4)\)

Если \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равны, то противоположные углы равны.

Поскольку \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\), значит, противоположные углы равны.

Таким образом, мы доказали, что данный четырехугольник является параллелограммом, так как выполняются оба условия: противоположные стороны равны и параллельны, а противоположные углы равны.

Чтобы определить центр симметрии параллелограмма, нужно найти среднюю точку отрезка, соединяющего середины противоположных сторон.

Середина AB:
\(M_{AB} = \left(\frac{(-2) + (-5)}{2}; \frac{(-4) + (-6)}{2}; \frac{1 + (-1)}{2}\right)\)
\(M_{AB} = (-3.5; -5; 0)\)

Середина CD:
\(M_{CD} = \left(\frac{4 + 7}{2}; \frac{10 + 12}{2}; \frac{3 + 5}{2}\right)\)
\(M_{CD} = (5.5; 11; 4)\)

Таким образом, центр симметрии параллелограмма находится в точке M(5.5; 11; 4).