Докажите, что четырехугольник АВСD с вершинами в точках А(6,7,8) В(8,2,6) С(4,3,2) D(2,8,4) является параллелограммом

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия. Первое условие - противоположные стороны параллельны, и второе условие - противоположные стороны равны.

Давайте проверим первое условие. Для этого воспользуемся векторами. Вектором называется упорядоченная пара чисел, задающая направление и длину отрезка. Вектор задается как разность координат двух точек, например, вектор AB = B - A.

1. Найдем векторы AB и DC:
AB = B - A = (8, 2, 6) - (6, 7, 8) = (2, -5, -2)
DC = C - D = (4, 3, 2) - (2, 8, 4) = (2, -5, -2)

Если векторы AB и DC параллельны, то они должны быть коллинеарны, то есть параллельны по направлению или противоположны по направлению. Чтобы проверить это, мы можем сравнить соотношение их компонент.

Проверим параллельность векторов AB и DC. Для этого сравним соотношения их компонент:
ABx/DCx = 2/2 = 1
ABy/DCy = -5/-5 = 1
ABz/DCz = -2/-2 = 1

Убедившись, что все соотношения компонент равны единице, мы видим, что векторы AB и DC параллельны. Таким образом, первое условие - противоположные стороны параллельны, выполняется.

Теперь проверим второе условие - равенство противоположных сторон. Для этого найдем векторы AD и BC.

2. Найдем векторы AD и BC:
AD = D - A = (2, 8, 4) - (6, 7, 8) = (-4, 1, -4)
BC = C - B = (4, 3, 2) - (8, 2, 6) = (-4, 1, -4)

Если векторы AD и BC равны по длине и направлению, то второе условие - равенство противоположных сторон, выполняется.

Мы видим, что векторы AD и BC имеют одинаковые компоненты и противоположное направление. Таким образом, векторы AD и BC равны.

Итак, мы доказали, что оба условия для четырехугольника ABCD выполняются. Поэтому мы можем сделать вывод, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.