Докажите, что ∠BAC = ∠CDB, при условии, что на рисунке отрезки AC и BD равны, а углы ∠CAD и ∠BDA равны

Для доказательства равенства углов \(\angle BAC\) и \(\angle CDB\) в данной задаче можно воспользоваться свойствами параллельных прямых и направленными углами.

У нас имеется рисунок, на котором находятся точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), а также отрезки \(AC\) и \(BD\). Дано, что эти отрезки равны: \(AC = BD\). Также дано, что углы \(\angle CAD\) и \(\angle BDA\) равны между собой: \(\angle CAD = \angle BDA\).

Обратимся к свойству параллельных прямых: если две параллельные прямые \(m\) и \(n\) пересекают третью прямую \(l\), то сумма углов, образованных l с этими прямыми, будет равна 180 градусам. В нашем случае возьмем прямую \(l\) равную \(AB\) и параллельную ей прямую \(m\) проходящую через точку \(C\). Пусть точка пересечения прямой \(m\) с \(BD\) будет обозначена как \(E\).

Таким образом, у нас получаются две параллельные прямые: \(AB\) и \(m\), пересекаемые третьей прямой \(BD\). Из свойства параллельных прямых, сумма углов, образованных \(BD\) с \(AB\) и \(m\), также будет равна 180 градусам.

Разделим угол \(\angle CAD\) на две составляющие: угол \(\angle CAD\) (между \(CA\) и \(DB\)) и угол \(\angle DAE\) (между \(DB\) и \(AE\)). Также разделим угол \(\angle BDA\) на две составляющие: угол \(\angle BDA\) (между \(BD\) и \(AC\)) и угол \(\angle DAE\) (между \(AC\) и \(AE\)).

Теперь рассмотрим полученные углы: \(\angle CAD\), \(\angle DAE\), \(\angle BDA\) и \(\angle DAE\). Суммы углов на прямых \(DB\) и \(AC\) должны быть равны, так как они являются составляющими углов \(\angle CAD\) и \(\angle BDA\) соответственно.

Таким образом, мы получаем следующее равенство:
\[
\angle CAD + \angle DAE = \angle BDA + \angle DAE
\]

Исключив общее слагаемое \(\angle DAE\) с обеих сторон равенства, получим:
\[
\angle CAD = \angle BDA
\]

Значит, мы доказали, что углы \(\angle BAC\) и \(\angle CDB\) равны по заданным условиям.