Доказательство. В треугольнике АВС, где АВ = c, ВС = а, АС = b, мы представим площадь треугольника как S = -absin

Чтобы доказать данное утверждение, нам необходимо использовать индивидуальные формулы для вычисления площади треугольника. Давайте разберемся пошагово.

1. Определим формулу для вычисления площади треугольника по длинам его сторон (формула Герона):
\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
где \(s\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

2. Запишем данное утверждение: \(S = -ab\sin C = bc\sin A = -zac\sin B\).

3. Подставим формулу для площади треугольника в данное равенство:
\[\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = -ab\sin C = bc\sin A = -zac\sin B\]

4. Возводим все выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня и привести их к общему знаменателю:
\[s(s-a)(s-b)(s-c) = a^2b^2\sin^2 C = b^2c^2\sin^2 A = z^2a^2c^2\sin^2 B\]

5. Разделим все равенства на \(a^2b^2c^2\) для удобства записи:
\[\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{a^2b^2c^2} = \sin^2 C = \sin^2 A = z^2\sin^2 B\]

6. Используем тригонометрическую тождественную связь для синуса треугольника:
\(\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \sin^2 A\)
\(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \sin^2 B\)
\(z^2\sin^2 B = 1 - \cos^2 B\)

7. Заметим, что получившиеся выражения в правых частях равенств равны между собой:
\(1 - \cos^2 C = 1 - \cos^2 A = 1 - \cos^2 B\)

8. Избавимся от "1" на обеих сторонах и получим:
\(\cos^2 C = \cos^2 A = \cos^2 B\)

Таким образом, мы доказали, что \(\cos^2 A = \cos^2 B = \cos^2 C\) в треугольнике АВС, где АВ = c, ВС = а, АС = b, и быстро обратились к доказательству изначального утверждения.

Обоснование: Мы использовали известную формулу для площади треугольника, а затем привели все выражения к общему знаменателю и применили тригонометрические тождества для синуса и косинуса. Полученный результат демонстрирует, что квадраты косинусов углов треугольника равны между собой, что и требовалось доказать.