Доказать, что сумма положительных чисел a, b, c, d больше чем 1/4, при условии, что (a+b+2c)2 >  d, (b+c+2d)2 >

Для начала, заметим, что в данной задаче представлены неравенства, а не уравнения. Мы должны доказать, что сумма положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) больше, чем \(\frac{1}{4}\), учитывая условия неравенств.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Посмотрим на первое неравенство \((a+b+2c)^2 > d\). Заметим, что квадратное выражение \((a+b+2c)^2\) является положительным числом, так как квадрат не может быть отрицательным. Следовательно, условие задачи утверждает, что положительное число \(d\) меньше, чем положительное число \((a+b+2c)^2\).

Шаг 2: Аналогичным образом мы рассмотрим оставшиеся три неравенства \((b+c+2d)^2 > a\), \((c+d+2a)^2 > b\), \((d+a+2b)^2 > c\). Они также утверждают, что положительные числа \(a\), \(b\), \(c\) меньше чем соответствующие положительные квадратные выражения.

Шаг 3: Теперь давайте сложим все эти неравенства вместе. Положительные числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) меньше соответствующих положительных квадратных выражений: \((a+b+2c)^2\), \((b+c+2d)^2\), \((c+d+2a)^2\), \((d+a+2b)^2\).

\[ (a+b+2c)^2 + (b+c+2d)^2 + (c+d+2a)^2 + (d+a+2b)^2 > a + b + c + d \]

Заметим, что суммируем по каждому из четырех неравенств. Если мы докажем, что неравенство справа больше, чем \(\frac{1}{4}\), то мы также докажем и исходное утверждение, что сумма положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) больше, чем \(\frac{1}{4}\).

Шаг 4: Для упрощения неравенства, перенесем все элементы налево:

\[ (a+b+2c)^2 + (b+c+2d)^2 + (c+d+2a)^2 + (d+a+2b)^2 - (a + b + c + d) > 0 \]

Шаг 5: Если мы разложим каждый квадратный член слева на множители, мы получим:

\[ a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab + 4ac + 4bc + b^2 + c^2 + 4d^2 + 2bc + 4bd + 4cd + c^2 + d^2 + 4a^2 + 2ac + 4ad + 4cd + d^2 + a^2 + 4b^2 + 2ab + 4ad + 4bd - a - b - c - d > 0 \]

Шаг 6: Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

\[ (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) - (a + b + c + d) > 0 \]

Шаг 7: Заметим, что \((a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\) - это квадратная сумма положительных чисел, и \(4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)\) - это величина, большая или равная нулю. Также заметим, что \((ab + ac + ad + bc + bd + cd)\) - это сумма всех возможных попарных произведений положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). А \(-(a + b + c + d)\) - это отрицание суммы положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).

Шаг 8: Мы можем перезаписать полученное неравенство следующим образом:

\[ (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + (a + b + c + d) < 0 \]

Шаг 9: Заметим, что полученное неравенство описывает сумму положительных величин. Из этого можно сделать вывод, что сумма положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) больше, чем \(\frac{1}{4}\).

Таким образом, мы доказали, что сумма положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) больше, чем \(\frac{1}{4}\) при выполнении условий \((a+b+2c)^2 > d\), \((b+c+2d)^2 > a\), \((c+d+2a)^2 > b\), \((d+a+2b)^2 > c\).