Нужно найти длину большей стороны прямоугольной трапеции, в которой основания равны 8√15, диагональ равна 32, и угол

Для решения этой задачи нам предоставлены следующие данные:

1. Основания прямоугольной трапеции равны \(8\sqrt{15}\),
2. Длина диагонали равна 32,
3. Угол при большем основании равен 45 градусам.

Чтобы найти длину большей стороны трапеции, обозначим \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, а \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны. Пусть \(M\) - середина диагонали \(AC\), \(N\) - точка пересечения продолжений боковых сторон \(AD\) и \(BC\), \(O\) - точка пересечения \(MN\) и \(BD\).

Поскольку угол при большем основании равен 45 градусам, то трапеция является прямоугольной. Отсюда следует, что треугольник \(AMD\) и \(BMC\) являются прямоугольными.

Так как \(MN\) является высотой трапеции, а \(MO = NO\), то \(AMD\) и \(BMC\) равнобедренные. Следовательно, \(MD = DA\) и \(MC = CB\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ADN\). Он также является прямоугольным, и мы можем применить теорему Пифагора:

\[DN^2 = AD^2 - AN^2\]
\[DN^2 = AD^2 - MN^2\]
\[DN = \sqrt{AD^2 - MN^2}\]
\[DN = \sqrt{AD^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2}\]

Подставляем известные значения:

\[DN = \sqrt{(8\sqrt{15})^2 - 16^2}\]
\[DN = \sqrt{8^2 \times 15 - 16^2}\]
\[DN = \sqrt{64 \times 15 - 256}\]
\[DN = \sqrt{960 - 256}\]
\[DN = \sqrt{704}\]
\[DN = 16\sqrt{11}\]

Теперь зная, что \(DN = 16\sqrt{11}\), \(AD = 8\sqrt{15}\) и \(DA = 16\sqrt{11}\), находим \(AB = 32\). Таким образом, длина большей стороны прямоугольной трапеции равна \(\textbf{32}\).