Доказать, что линия KM параллельна плоскости α. Найти длину отрезка BC, если

длина отрезка KM равна 8 см, угол ABC равен 60 градусов, а угол BAC равен 30 градусов.

Для доказательства, что линия KM параллельна плоскости α, мы должны использовать свойство, что если две прямые пересекаются с одной плоскостью и взаимно перпендикулярны к третьей прямой, то эти две прямые параллельны друг другу.

Для начала давайте рассмотрим треугольник ABC. У нас есть информация о двух углах: ABC и BAC. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти третий угол треугольника, применив формулу:

\[
\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ
\]

Вставим в данную формулу известные значения:

\[
60^\circ + 30^\circ + \angle BCA = 180^\circ
\]

Сокращаем:

\[
90^\circ + \angle BCA = 180^\circ
\]

Вычитаем 90 градусов:

\[
\angle BCA = 90^\circ
\]

Таким образом, угол BCA равен 90 градусов. Это означает, что BC является высотой треугольника ABC и перпендикулярна к основанию AC.

Теперь рассмотрим отрезок KM. У нас есть информация о его длине: KM = 8 см. Так как BC является перпендикуляром к плоскости α, а KM параллелен BC (так как BC является высотой треугольника ABC), то KM также перпендикулярен к плоскости α. Это означает, что линия KM параллельна плоскости α.

Теперь давайте найдем длину отрезка BC. Мы знаем, что линия KM параллельна BC, поэтому длина отрезка KM равна расстоянию между линиями BC и KM.

Так как BC является высотой треугольника ABC, а KM является биссектрисой угла ABC, то KM делит BC на две равные части. То есть длина отрезка BC равна двум длинам отрезка KM.

Так как KM = 8 см, то BC = 2 * KM = 2 * 8 см = 16 см.

Таким образом, длина отрезка BC равна 16 см.