Для заданного треугольника abc с точками a(-2; 5), b(4; -1), с(-2; 3), найдите следующее: а) Найдите новые координаты

Давайте решим задачу поэтапно.

а) Чтобы найти новые координаты точки \(М\), которая является серединой отрезка \(АВ\), мы найдем среднее арифметическое координат вершин \(А\) и \(В\).

Координаты точки \(М\) можно найти следующим образом:
\(М = \left(\frac{{х_1 + х_2}}{2}, \frac{{у_1 + у_2}}{2}\right)\)

Используя данную формулу, мы можем вычислить:

\(М = \left(\frac{{-2 + 4}}{2}, \frac{{5 + (-1)}}{2}\right)\)

\(М = (1, 2)\)

Теперь найдем новые координаты точки \(К\), которая является серединой отрезка \(АС\), используя ту же формулу:

\(К = \left(\frac{{х_1 + х_2}}{2}, \frac{{у_1 + у_2}}{2}\right)\)

Подставив значения, получим:

\(К = \left(\frac{{-2 + (-2)}}{2}, \frac{{5 + 3}}{2}\right)\)

\(К = (-2, 4)\)

б) Чтобы найти длину медианы \(MC\), будем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Формула для расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) задается как:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Применим эту формулу для нахождения длины медианы \(MC\):

\(MC = \sqrt{{(-2 - 1)^2 + (3-2)^2}}\)

\(MC = \sqrt{{(-3)^2 + 1^2}}\)

\(MC = \sqrt{{9 + 1}}\)

\(MC = \sqrt{{10}}\)

Расстояние между точками \(М\) и \(С\) равно \(\sqrt{{10}}\).

Аналогичным образом, мы можем найти длину медианы \(КС\):

\(KC = \sqrt{{(-2 - (-2))^2 + (4-2)^2}}\)

\(KC = \sqrt{{0^2 + 2^2}}\)

\(KC = \sqrt{{4}}\)

\(KC = 2\)

в) Чтобы рассчитать длину средней линии \(МК\), которая соединяет середины двух сторон треугольника, мы также можем использовать формулу для расстояния между двумя точками. Найдем длину средней линии \(МК\):

\(MK = \sqrt{{(1 - (-2))^2 + (2-4)^2}}\)

\(MK = \sqrt{{3^2 + (-2)^2}}\)

\(MK = \sqrt{{9 + 4}}\)

\(MK = \sqrt{{13}}\)

г) Найдем длины всех сторон треугольника \(ABC\). Для этого рассчитаем расстояния между всеми парами вершин.

Длина стороны \(AB\):

\(AB = \sqrt{{(-2 - 4)^2 + (5-(-1))^2}}\)

\(AB = \sqrt{{(-6)^2 + 6^2}}\)

\(AB = \sqrt{{36 + 36}}\)

\(AB = \sqrt{{72}}\)

\(AB = 6\sqrt{{2}}\)

Длина стороны \(BC\):

\(BC = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (-1-3)^2}}\)

\(BC = \sqrt{{(6)^2 + (-4)^2}}\)

\(BC = \sqrt{{36 + 16}}\)

\(BC = \sqrt{{52}}\)

\(BC = 2\sqrt{{13}}\)

Длина стороны \(AC\):

\(AC = \sqrt{{(-2 - (-2))^2 + (5-3)^2}}\)

\(AC = \sqrt{{(0)^2 + 2^2}}\)

\(AC = \sqrt{{4}}\)

\(AC = 2\)

Таким образом, длины сторон треугольника \(ABC\) равны:
\(AB = 6\sqrt{{2}}\),
\(BC = 2\sqrt{{13}}\),
\(AC = 2\).