Для яких значень х вектор а буде мати довжину 5, якщо а = (х-2;3)?

Чтобы найти значения \(x\), для которых вектор \(а\) имеет длину 5, необходимо использовать формулу вычисления длины вектора в двумерном пространстве. Длина вектора вычисляется по формуле:

\[
||a|| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}
\]

где \(a_1\) и \(a_2\) - компоненты вектора \(а\).

В данной задаче у нас есть вектор \(а\) с компонентами \(a_1 = x-2\) и \(a_2 = 3\). Подставим эти значения в формулу длины вектора:

\[
||a|| = \sqrt{{(x-2)}^2 + 3^2} = 5
\]

Теперь нужно разрешить это уравнение относительно \(x\).

\[
\sqrt{{(x-2)}^2 + 9} = 5
\]

Для начала возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
(x-2)^2 + 9 = 25
\]

Раскроем скобку и упростим уравнение:

\[
x^2 - 4x + 4 + 9 = 25
\]

Соберем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[
x^2 - 4x + 13 - 25 = 0
\]

Упростим выражение и получим квадратное уравнение:

\[
x^2 - 4x - 12 = 0
\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = -12\), поэтому:

\[
x = \frac{{4 \pm \sqrt{{16 + 48}}}}{{2 \cdot 1}}
\]

Выполним вычисления:

\[
x = \frac{{4 \pm \sqrt{{64}}}}{2} = \frac{{4 \pm 8}}{2}
\]

Теперь вычислим два значения для \(x\):

\[
x_1 = \frac{{4 + 8}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6
\]

\[
x_2 = \frac{{4 - 8}}{2} = \frac{{-4}}{2} = -2
\]

Таким образом, для значений \(x = 6\) и \(x = -2\) вектор \(а\) будет иметь длину 5.