Для того, щоб сила тиску води на дно циліндра дорівнювала силі тиску на бічну поверхню, до якої висоти потрібно налити

Для решения данной задачи, нам необходимо установить, до какой высоты нужно налить воду в вертикальный цилиндр с радиусом.

Пусть радиус цилиндра равен $r$, а высота, до которой нужно налить воду, равна $h$. Тогда мы можем использовать принцип Архимеда, который гласит: "Сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу вытесненной этим телом жидкости".

Когда цилиндр полностью заполнен водой до высоты $h$, мы можем представить его как составленный из трех частей: дна, боковой поверхности и пространства над уровнем воды.

1. Дно цилиндра: Площадь дна цилиндра можно рассчитать по формуле площади круга: $S_1=\pi r^2$. Сила, действующая на дно цилиндра, равна силе давления, которую оказывает вода на дно, умноженной на площадь дна. То есть, $F_1=P\cdot S_1$, где $P$ - давление воды на дно цилиндра.

2. Боковая поверхность цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра и окружности, ограниченной радиусом цилиндра. То есть, $S_2=2\pi r\cdot h$. Сила, действующая на боковую поверхность цилиндра, равна силе давления, которую оказывает вода на боковую поверхность, умноженной на площадь боковой поверхности. То есть, $F_2=P\cdot S_2$, где $P$ - давление воды на боковую поверхность цилиндра.

3. Пространство над уровнем воды: Верхнюю часть цилиндра мы не учитываем, так как она не находится под водой и не создает никакой дополнительной силы давления.

Согласно условию задачи, сила давления на дно цилиндра должна быть равна силе давления на боковую поверхность. То есть, $F_1=F_2$.

Теперь можем провести расчеты:

$F_1=P\cdot S_1=P\cdot \pi r^2$ - сила давления на дно цилиндра,
$F_2=P\cdot S_2=P\cdot 2\pi r\cdot h$ - сила давления на боковую поверхность цилиндра.

Учитывая, что $F_1=F_2$, мы можем записать уравнение:

$$P\cdot \pi r^2=P\cdot 2\pi r\cdot h$$

После сокращения на $\pi$ и $P$ получаем:

$$r^2=2rh$$

Теперь мы можем найти высоту, до которой нужно налить воду в цилиндр. Разделим обе части уравнения на $r$:

$$r=2h$$

Далее, для того, чтобы найти значение высоты $h$, разделим обе части на 2:

$$h=\frac{r}{2}$$

Таким образом, для того, чтобы сила давления воды на дно цилиндра равнялась силе давления на боковую поверхность, вам необходимо налить воду до половины его радиуса.