для каждой функции найдите первую производную. а) Найдите первую производную функции y=3x42. б) Найдите первую

Хорошо, давайте начнем с решения каждой задачи.

а) Найдите первую производную функции \(y=3x^4\) .

Решение:
Для того чтобы найти первую производную функции, мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции.
По этому правилу, производная функции \(y = kx^n\) равна произведению степени на коэффициент: \(y" = nkx^{n-1}\)

В данном случае, у нас функция \(y = 3x^4\), где \(k = 3\) и \(n = 4\). Подставляем значения в формулу производной и получаем:
\[y" = 4 \cdot 3x^{4-1}\]
\[y" = 12x^3\]

Таким образом, первая производная функции \(y = 3x^4\) равна \(y" = 12x^3\).

б) Найдите первую производную функции \(y = -2\).

Решение:
В данном случае, у нас функция \(y = -2\) не зависит от переменной \(x\), и производная будет равна нулю. Это связано с тем, что функция \(y = -2\) является константой, и её график представляет собой горизонтальную прямую.

Таким образом, первая производная функции \(y = -2\) равна \(y" = 0\).

в) Найдите первую производную функции \(y = -x^4 + 5\cos(x)\).

Решение:
Для нахождения первой производной функции, мы будем использовать правила дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования произведения функций.

Первым шагом найдем производную члена \(-x^4\). По правилу дифференцирования степенной функции, его производная будет равна \(4x^{4-1} = 4x^3\).

Затем найдем производную члена \(5\cos(x)\). По правилу дифференцирования функции синуса, её производная будет равна \(-5\sin(x)\).

Производная суммы двух функций равна сумме их производных, поэтому складываем результаты:
\[y" = 4x^3 - 5\sin(x)\]

Таким образом, первая производная функции \(y = -x^4 + 5\cos(x)\) равна \(y" = 4x^3 - 5\sin(x)\).

г) Найдите первую производную функции \(y = -3x^{-4}\).

Решение:
Для нахождения первой производной функции, мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции.

Для начала преобразуем функцию \(y = -3x^{-4}\) в более удобную форму. Возводя переменную \(x\) в отрицательную степень, мы получаем дробь: \(y = -3 \cdot \frac{1}{x^4}\).

Теперь мы можем найти производную:
\[y" = -3 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^4}\right)\]

По правилу дифференцирования степенной функции, производная \(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^n}\right)\) равна \(-\frac{n}{x^{n+1}}\). Подставим значения и получим:
\[y" = -3 \cdot \left(-\frac{4}{x^{4+1}}\right)\]
\[y" = \frac{12}{x^5}\]

Таким образом, первая производная функции \(y = -3x^{-4}\) равна \(y" = \frac{12}{x^5}\).

д) Найдите первую производную функции \(y = 10x\).

Решение:
В данном случае, у нас функция \(y = 10x\) является линейной функцией, и её производная будет равна коэффициенту \(10\). Это связано с тем, что график линейной функции представляет собой прямую линию с постоянным углом наклона.

Таким образом, первая производная функции \(y = 10x\) равна \(y" = 10\).

Я надеюсь, что мои объяснения были достаточно подробными и понятными для вас. Если у вас есть ещё какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!