Для каких значений x неравенство -2x²+2

Для начала, нам нужно решить неравенство \(-2x^2 + 2 < 0\). Чтобы найти значения \(x\), для которых это неравенство выполняется, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Расположение \(x^2\) и числового коэффициента по убыванию

Мы хотим, чтобы у нас был коэффициент \(x^2\), который положительный. Для этого, домножим неравенство на -1, чтобы изменить знаки всех компонентов:

\[2x^2 - 2 > 0\]

Шаг 2: Факторизация

Давайте факторизуем выражение \(2x^2 - 2\). Обратите внимание, что у нас есть общий множитель 2:

\[2(x^2 - 1) > 0\]

Шаг 3: Решение уравнения \(x^2 - 1 = 0\).

Если мы хотим узнать, при каких значениях \(x\) неравенство становится равенством, нам нужно решить уравнение \(x^2 - 1 = 0\).

Факторизуем это уравнение:

\((x - 1)(x + 1) = 0\)

Затем найдем значения \(x\), при которых это уравнение равно нулю:

\[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\]
\[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\]

Шаг 4: Построение числовой прямой

Построим числовую прямую и отметим значения \(x = -1\) и \(x = 1\):

-∞ ------o--------------o------ +∞
-1 1

Шаг 5: Знак в каждом интервале

Теперь выберем точку в каждом интервале числовой прямой и проверим знак выражения \(2(x^2 - 1)\) в этом интервале.

Допустим: давайте выберем точку x = -2. Подставим эту точку в выражение:

\[2((-2)^2 - 1) = 2(4 - 1) = 2(3) = 6\]

Таким образом, мы знаем, что выражение \(2(x^2 - 1)\) положительно в интервале \((-∞, -1)\).

Теперь выберем точку х = 0:

\[2((0)^2 - 1) = 2(-1) = -2\]

Мы видим, что выражение \(2(x^2 - 1)\) отрицательно во втором интервале \((-1, 1)\).

Выберем точку х = 2:

\[2((2)^2 - 1) = 2(4 - 1) = 2(3) = 6\]

Выражение \(2(x^2 - 1)\) снова положительно в третьем интервале \((1, +∞)\).

Шаг 6: Вывод ответа

Исходя из знаков выражения \(2(x^2 - 1)\) в каждом интервале, наше исходное неравенство -2x^2 + 2 < 0 выполняется только во втором интервале \((-1, 1)\). Таким образом, диапазон значений \(x\), для которых это неравенство выполняется, -1 < x < 1.