Дайте доказательство равенства tg15 = 2-√3 с использованием графика

Конечно, давайте решим эту задачу. Перед началом доказательства равенства \(\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}\) нам потребуется некоторое предварительное знание о геометрической интерпретации тангенса и значения тангенса для некоторых углов.

Тангенс угла в треугольнике равен отношению противоположной стороны к прилежащей стороне этого угла. Теперь, расмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 15 градусам.

       A

      /|

     / |

  c /  | b

   /   |

  /____|

   B  a  C

Здесь угол B равен 15 градусов.

Также нам известно, что сторона AC (противоположная углу B) равна 1, так как это гипотенуза единичного круга.

Степенью 45 градусов я вижу наилучше, чтобы начать построение треугольника, так как углы 45 градусов и 30 градусов являются хорошими точками отсчета для создания графика.

Строим треугольник ABC со стороной AC равной 1 и углом B в 15 градусов:

       A

      /|

     / |

  1 /  | 

   /   |

  /____|

   B    C

Теперь нам нужно найти длину противолежащей стороны AB для угла B, чтобы вычислить тангенс этого угла.

Isosceles Triangle BAB" с центром A и радиусом 1 является равнобедренным и угол BAB" является 30 градусов.

       A

      /|

     / |

  1 /|1

   /  |

  /___|

   B A" B"

Обозначим точку A" центра BAB".

Используя второй угол равного треугольника BAB " BAB "+ B = 180 градусов, получаем угол BAA "равным 75 градусов.

По данным у нас есть равносторонний треугольник AA" A "с углом A " равным 60 градусов и сторонами равными 1.

       A"

      /|

     / |

 1/   |\

  /    | \

 /_____A__\A

Вычисляем теперь сторону AA":
AA" = 1 / \(\cos 60^\circ\) = 1 / 0.5 = 2

Теперь рассмотрим треугольник АА"В.

       A"

      /|

     / |

2/   |\

  /    | \

 /\_____B_\A

Длина ВА равна 1, а длина АА" равна 2.

С помощьем теоремы Пифагора находим длину стороны ВА", обозначим ее как х:
\(x^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\)

Теперь рассмотрим треугольник АВА".

       A"

      /|

     / |

2/   |\

  /    | \

 /_____|__A

    В   А"

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника АВА". Длина ВА равна 1, длина АА" равна 2, а длина ВА" равна \(\sqrt{3}\).

Тангенс угла B, который равен 15 градусам, определяется как отношение противолежащего к прилежащему катету:
\(\tan 15^\circ = \frac{АВ}{ВА"} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Теперь приведем найденную дробь к виду 2 - \(\sqrt{3}\). Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на \(\sqrt{3}\):
\(\tan 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{3} = 2 - \sqrt{3}\)

Таким образом, мы доказали, что \(\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}\) с использованием построения графика и геометрических принципов.