Дайте диапазон значений, к которому относится корень уравнения. (1 8) ^ 0,1x-1=16

Чтобы найти диапазон значений, к которому относится корень уравнения \((\frac{1}{8})^{0.1x-1} = 16\), мы должны рассмотреть две ситуации: когда корень равен положительному числу и когда корень равен отрицательному числу. Позвольте мне объяснить каждую ситуацию пошагово.

1. Когда корень является положительным числом:
Для этого случая мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Таким образом, получим:
\((1/8)^{0.1x-1} = 16\) (исходное уравнение)
\((1/8)^{0.1x-1} = (4^2)\) (возводим 16 в квадрат)
\((1/8)^{0.1x-1} = 4^4\) (упрощаем выражение)
\(1/8 = 4^{0.4x-4}\) (равенство степеней с одинаковым основанием)
Теперь возведем обе части уравнения в степень, обратную 4:
\((1/8)^{1/4} = (4^{0.4x-4})^{1/4}\)
\(\frac{1}{2} = 4^{0.1x-1}\)

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить, чтобы найти диапазон значений для положительного корня. Давайте продолжим:

\(4^{0.1x-1} = \frac{1}{2}\) (из предыдущего шага)
\(0,1x-1 = \log_4{\frac{1}{2}}\) (применим логарифм с основанием 4 к обеим сторонам)
\(0,1x-1 = -\frac{1}{2}\) (используем свойство логарифмов)
\(0,1x = \frac{1}{2} - 1\) (прибавим 1 к обеим сторонам)
\(0,1x = -\frac{1}{2}\)
\(x = -5\) (умножим обе стороны на 10)

Таким образом, при условии, что корень является положительным числом, значение x равно -5.

2. Когда корень является отрицательным числом:
Для этого случая мы можем преобразовать уравнение, чтобы сделать корень отрицательным числом. Позвольте мне показать вам, как это сделать:

\((1/8)^{0.1x-1} = 16\) (исходное уравнение)
\((\frac{1}{8})^{- (0.1x-1)} = 16\) (умножим обе части на -1)

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти диапазон значений для отрицательного корня. Продолжим пошагово:

\((\frac{1}{8})^{- (0.1x-1)} = 16\) (обратим знак степени)
\((8)^{0.1x-1} = \frac{1}{16}\) (перевернем обе части уравнения)
\(8^{0.1x-1} = \frac{1}{2^4}\)
\(8^{0.1x-1} = \frac{1}{2^{2 \times 2}}\)
\(8^{0.1x-1} = \frac{1}{2^2} \times \frac{1}{2^2}\)
\(8^{0.1x-1} = (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^2\) (упрощение)
\(8^{0.1x-1} = (\frac{1}{2})^4\) (свойство степени)
\(0.1x-1 = \log_8{(\frac{1}{2})^4}\) (применим логарифм с основанием 8 к обеим сторонам)
\(0.1x-1 = -2\) (упрощение)
\(0.1x = -2 + 1\) (прибавим 1 к обеим сторонам)
\(0.1x = -1\)
\(x = -10\) (умножим обе стороны на 10)

Таким образом, при условии, что корень отрицательное число, значение x равно -10.

Итак, диапазон значений, к которому относится корень уравнения \((\frac{1}{8})^{0.1x-1} = 16\), это x = -10 и x = -5, где x может быть выбран из этих двух значений для получения положительных и отрицательных корней соответственно.