Дайте диапазон значений, к которому относится корень уравнения. (1 8) ^ 0,1x-1=16

Чтобы найти диапазон значений, к которому относится корень уравнения $(\frac{1}{8}{)}^{0.1x-1}=16$, мы должны рассмотреть две ситуации: когда корень равен положительному числу и когда корень равен отрицательному числу. Позвольте мне объяснить каждую ситуацию пошагово.

1. Когда корень является положительным числом:
Для этого случая мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Таким образом, получим:
$(1/8{)}^{0.1x-1}=16$ (исходное уравнение)
$(1/8{)}^{0.1x-1}=(4^2)$ (возводим 16 в квадрат)
$(1/8{)}^{0.1x-1}=4^4$ (упрощаем выражение)
$1/8=4^{0.4x-4}$ (равенство степеней с одинаковым основанием)
Теперь возведем обе части уравнения в степень, обратную 4:
$(1/8{)}^{1/4}=(4^{0.4x-4}{)}^{1/4}$
$\frac{1}{2}=4^{0.1x-1}$

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить, чтобы найти диапазон значений для положительного корня. Давайте продолжим:

$4^{0.1x-1}=\frac{1}{2}$ (из предыдущего шага)
$0,1x-1={\log }_4\frac{1}{2}$ (применим логарифм с основанием 4 к обеим сторонам)
$0,1x-1=-\frac{1}{2}$ (используем свойство логарифмов)
$0,1x=\frac{1}{2}-1$ (прибавим 1 к обеим сторонам)
$0,1x=-\frac{1}{2}$
$x=-5$ (умножим обе стороны на 10)

Таким образом, при условии, что корень является положительным числом, значение x равно -5.

2. Когда корень является отрицательным числом:
Для этого случая мы можем преобразовать уравнение, чтобы сделать корень отрицательным числом. Позвольте мне показать вам, как это сделать:

$(1/8{)}^{0.1x-1}=16$ (исходное уравнение)
$(\frac{1}{8}{)}^{-(0.1x-1)}=16$ (умножим обе части на -1)

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти диапазон значений для отрицательного корня. Продолжим пошагово:

$(\frac{1}{8}{)}^{-(0.1x-1)}=16$ (обратим знак степени)
$(8{)}^{0.1x-1}=\frac{1}{16}$ (перевернем обе части уравнения)
$8^{0.1x-1}=\frac{1}{2^4}$
$8^{0.1x-1}=\frac{1}{2^{2\times 2}}$
$8^{0.1x-1}=\frac{1}{2^2}\times \frac{1}{2^2}$
$8^{0.1x-1}=(\frac{1}{2}{)}^2\times (\frac{1}{2}{)}^2$ (упрощение)
$8^{0.1x-1}=(\frac{1}{2}{)}^4$ (свойство степени)
$0.1x-1={\log }_8(\frac{1}{2}{)}^4$ (применим логарифм с основанием 8 к обеим сторонам)
$0.1x-1=-2$ (упрощение)
$0.1x=-2+1$ (прибавим 1 к обеим сторонам)
$0.1x=-1$
$x=-10$ (умножим обе стороны на 10)

Таким образом, при условии, что корень отрицательное число, значение x равно -10.

Итак, диапазон значений, к которому относится корень уравнения $(\frac{1}{8}{)}^{0.1x-1}=16$, это x = -10 и x = -5, где x может быть выбран из этих двух значений для получения положительных и отрицательных корней соответственно.