Дать функцию y=2+4⋅x/2⋅x^2+x. Построить график указанной функции и определить значения k, при которых прямая y=kx

Хорошо, чтобы составить данную функцию и построить ее график, мы должны использовать указанные коэффициенты и переменную \(x\). Таким образом, у нас есть функция \(y = 2 + \frac{4x}{2x^2 + x}\). Давайте начнем.

1. Сначала составим уравнение для \(y\) в виде обычной дроби, чтобы упростить его:

\[y = 2 + \frac{4x}{2x^2 + x}.\]

2. Теперь найдем общий знаменатель для дроби:

\[y = \frac{2(2x^2 + x) + 4x}{2x^2 + x}.\]

Раскроем скобки:

\[y = \frac{4x^2 + 2x + 4x}{2x^2 + x}.\]

Упростим выражение:

\[y = \frac{4x^2 + 6x}{2x^2 + x}.\]

3. Заметим, что \(2x\) является общим множителем числителя и знаменателя. Вынесем его за скобки:

\[y = \frac{2x(2x + 3)}{x(2x + 1)}.\]

4. Теперь можем сократить эти два \(x\):

\[y = \frac{2(2x + 3)}{2x + 1}.\]

После сокращения у нас остается:

\[y = \frac{4x + 6}{2x + 1}.\]

5. Построим график функции, чтобы визуально представить ее форму. Для этого выберем несколько значений \(x\) и вычислим соответствующие значения \(y\):

Пусть \(x = -2\), тогда

\[y = \frac{4(-2) + 6}{2(-2) + 1} = \frac{-8 + 6}{-4 + 1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}.\]

Получили точку \((-2, \frac{2}{3})\).

Пусть \(x = -1\), тогда

\[y = \frac{4(-1) + 6}{2(-1) + 1} = \frac{-4 + 6}{-2 + 1} = \frac{2}{-1} = -2.\]

Получили точку \((-1, -2)\).

Пусть \(x = 0\), тогда

\[y = \frac{4(0) + 6}{2(0) + 1} = \frac{6}{1} = 6.\]

Получили точку \((0, 6)\).

Пусть \(x = 1\), тогда

\[y = \frac{4(1) + 6}{2(1) + 1} = \frac{4 + 6}{2 + 1} = \frac{10}{3}.\]

Получили точку \((1, \frac{10}{3})\).

Пусть \(x = 2\), тогда

\[y = \frac{4(2) + 6}{2(2) + 1} = \frac{8 + 6}{4 + 1} = \frac{14}{5}.\]

Получили точку \((2, \frac{14}{5})\).

6. Теперь нарисуем график, используя эти точки:


Поглядев на график, мы видим, что прямая \(y = kx\) пересекает наш график только в одной точке, когда она касается его в одной и только одной точке. Чтобы узнать значения \(k\), при которых это происходит, нужно найти наклон \(k\) такой прямой, который соответствует наклону касательной к графику функции.

Для этого мы можем выбрать две близкие точки на графике и найти их координаты в формате \((x, y)\). Затем используем формулу для нахождения наклона касательной:

\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\]

где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты выбранных точек.

Давайте выберем две точки на графике, например, \((-1, -2)\) и \((0, 6)\):

\[k = \frac{6 - (-2)}{0 - (-1)} = \frac{8}{1} = 8.\]

Таким образом, значение \(k\) для прямой \(y = kx\), которая пересекает график только в одной точке, равно \(k = 8\).

Это единственное значение \(k\), при котором прямая пересекает график указанной функции только в одной точке.