Даны три точки в декартовой прямоугольной системе координат: a(x1, y1, z1), b(x2, y2, z2), c(x3, y3, z3). Нужно найти

Для начала, давайте найдем координаты векторов ab и ac.

а) Вектор ab представляет разность координат векторов b и a. Для нахождения вектора ab, вычтем из координат точки b координаты точки a.

\[\overrightarrow{ab} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\]

Подставим значения в данную формулу:

\[\overrightarrow{ab} = (5 - 2, -1 - 3, 6 - (-6))\]

Упростим:

\[\overrightarrow{ab} = (3, -4, 12)\]

Таким образом, координаты вектора ab равны (3, -4, 12).

б) Чтобы найти скалярное произведение векторов ab и ac, умножим соответствующие координаты этих векторов и сложим полученные произведения.

Скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)\) и \(\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3)\) вычисляется по формуле:

\[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3\]

Подставим значения координат векторов ab и ac в данную формулу:

\(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac} = 3 \cdot (4 - 2) + (-4) \cdot (3 - 3) + 12 \cdot (-6 - (-6))\)

Упростим:

\(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac} = 3 \cdot 2 + 0 + 12 \cdot 0\)

\(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac} = 6\)

Таким образом, скалярное произведение векторов ab и ac равно 6.

в) Чтобы найти угол между векторами ab и ac, воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

Косинус угла между векторами \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) вычисляется по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|}\]

где \(\|\overrightarrow{u}\|\) и \(\|\overrightarrow{v}\|\) - это длины векторов \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\), соответственно.

Выше мы уже нашли значение скалярного произведения векторов ab и ac (\(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac} = 6\)).

Теперь найдем длины векторов ab и ac:

\(\|\overrightarrow{ab}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

\(\|\overrightarrow{ac}\| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (-6 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 0 + 0} = \sqrt{4} = 2\)

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos(\theta) = \frac{6}{13 \cdot 2}\)

\(\cos(\theta) = \frac{6}{26}\)

Теперь найдем сам угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса (арккосинус):

\(\theta = \arccos \left(\frac{6}{26}\right)\)

Подставим значение в выражение и приближенно найдем угол:

\(\theta \approx 68.97^\circ\)

Таким образом, угол между векторами ab и ac составляет приблизительно 68.97 градусов.