Даны три точки в декартовой прямоугольной системе координат: a(x1, y1, z1), b(x2, y2, z2), c(x3, y3, z3). Нужно найти

Дек 2, 2024

Даны три точки в декартовой прямоугольной системе координат: a(x1, y1, z1), b(x2, y2, z2), c(x3, y3, z3). Нужно найти:
а) Каковы координаты векторов ab и ac?
б) Чему равно скалярное произведение векторов ab и ac?
в) Какой угол между векторами ab и ac?
Известно, что a(2; 3; -6), b(5; -1; 6), c(4; , ; ).

Alisa

Для начала, давайте найдем координаты векторов ab и ac.

а) Вектор ab представляет разность координат векторов b и a. Для нахождения вектора ab, вычтем из координат точки b координаты точки a.

\vec{a b} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})

Подставим значения в данную формулу:

\vec{a b} = (5 - 2, - 1 - 3, 6 - (- 6))

Упростим:

\vec{a b} = (3, - 4, 12)

Таким образом, координаты вектора ab равны (3, -4, 12).

б) Чтобы найти скалярное произведение векторов ab и ac, умножим соответствующие координаты этих векторов и сложим полученные произведения.

Скалярное произведение двух векторов

\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})

\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

вычисляется по формуле:

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2} + u_{3} \cdot v_{3}

Подставим значения координат векторов ab и ac в данную формулу:

\vec{a b} \cdot \vec{a c} = 3 \cdot (4 - 2) + (- 4) \cdot (3 - 3) + 12 \cdot (- 6 - (- 6))

Упростим:

\vec{a b} \cdot \vec{a c} = 3 \cdot 2 + 0 + 12 \cdot 0

\vec{a b} \cdot \vec{a c} = 6

Таким образом, скалярное произведение векторов ab и ac равно 6.

в) Чтобы найти угол между векторами ab и ac, воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

Косинус угла между векторами

\vec{u}

\vec{v}

вычисляется по формуле:

\cos (θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{‖ \vec{u} ‖ \cdot ‖ \vec{v} ‖}

где

‖ \vec{u} ‖

‖ \vec{v} ‖

- это длины векторов

\vec{u}

\vec{v}

, соответственно.

Выше мы уже нашли значение скалярного произведения векторов ab и ac (

\vec{a b} \cdot \vec{a c} = 6

).

Теперь найдем длины векторов ab и ac:

‖ \vec{a b} ‖ = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + 12^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13

‖ \vec{a c} ‖ = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (3 - 3)^{2} + (- 6 - (- 6))^{2}} = \sqrt{2^{2} + 0 + 0} = \sqrt{4} = 2

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\cos (θ) = \frac{6}{13 \cdot 2}

\cos (θ) = \frac{6}{26}

Теперь найдем сам угол

θ

с помощью обратной функции косинуса (арккосинус):

θ = \arccos (\frac{6}{26})

Подставим значение в выражение и приближенно найдем угол:

θ \approx {68.97}^{\circ}

Таким образом, угол между векторами ab и ac составляет приблизительно 68.97 градусов.

Знаешь ответ?

Математика

Какова высота прямоугольного параллелепипеда, если его объем равен 1440 куб. см, длина составляет...

Дек 22, 2023

Математика

77 часов, если комбайны имеют разную мощность?

Дек 22, 2023

Даны три точки в декартовой прямоугольной системе координат: a(x1, y1, z1), b(x2, y2, z2), c(x3, y3, z3). Нужно найти

Alisa

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!