Дано: Точка A с координатами (13 ; -2), точка B с координатами (-3 ; -6), точка C с координатами (4 ; 0). Найти

Давайте рассмотрим каждый пункт задачи по очереди:

а) Чтобы найти координаты вектора AC, мы должны вычислить разность координат между точками C и A.

Пусть \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\). Тогда мы можем получить следующую систему уравнений:

\[ \begin{cases} x = x_C - x_A \\ y = y_C - y_A \end{cases} \]

Подставим координаты точек A и C:

\[ \begin{cases} x = 4 - 13 = -9 \\ y = 0 - (-2) = 2 \end{cases} \]

Таким образом, координаты вектора AC равны (-9 ; 2).

б) Чтобы найти длину вектора BC, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника. Вектор BC является гипотенузой, а его координаты мы уже знаем.

По теореме Пифагора:

\[ |BC| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Подставим координаты точек B и C:

\[ |BC| = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \]

Таким образом, длина вектора BC равна \(\sqrt{85}\).

в) Чтобы найти координаты середины отрезка AB, мы можем использовать среднее арифметическое координат точек A и B. Для этого сложим соответствующие координаты и разделим их на 2:

\[ x_{сер.} = \frac{x_A + x_B}{2} \]
\[ y_{сер.} = \frac{y_A + y_B}{2} \]

Подставим координаты точек A и B:

\[ x_{сер.} = \frac{13 + (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ y_{сер.} = \frac{-2 + (-6)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (5 ; -4).

г) Чтобы найти периметр треугольника ABC, мы должны найти длины всех его сторон и сложить их. Мы уже знаем длину стороны BC из пункта б), поэтому осталось найти длины сторон AB и AC.

Длина стороны AB вычисляется аналогично пункту б), используя координаты точек A и B:

\[ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-3 - 13)^2 + (-6 - (-2))^2} = \sqrt{(-16)^2 + (-4)^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} \]

Таким образом, длина стороны AB равна \(\sqrt{272}\).

Длина стороны AC можно найти, используя координаты точек A и C:

\[ |AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 13)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (2)^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85} \]

Таким образом, длина стороны AC также равна \(\sqrt{85}\).

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC, сложив длины всех его сторон:

\[ P = |AB| + |BC| + |AC| = \sqrt{272} + \sqrt{85} + \sqrt{85} \]

д) По определению, медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нашего треугольника ABC, медианы - это отрезки, соединяющие вершины A, B и C с серединами сторон BC, AC и AB соответственно.

Чтобы найти длину медианы, мы можем использовать теорему о медиане треугольника:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а m - длина медианы.

Медиана, соединяющая вершину A с серединой стороны BC, будет иметь длину:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2|BC|^2 + 2|AC|^2 - |AB|^2} \]

Подставим значения длин сторон AB, BC и AC:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(\sqrt{272})^2 + 2(\sqrt{85})^2 - (\sqrt{272})^2} \]

Упростим выражение:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{544 + 170 - 272} = \frac{1}{2} \sqrt{442} \]

Таким образом, длина медианы между вершиной A и стороной BC равна \(\frac{1}{2} \sqrt{442}\).