Дано: f(x)={x2+2x, если x∈[−4;1] x−−√+2, если x∈(1;4] Построить график данной функции. Найти интервалы, на которых

Чтобы построить график данной функции, нам необходимо разобить область определения функции на два интервала: \([-4; 1]\) и \((1; 4]\).

На первом интервале \([-4; 1]\) функция \(f(x)\) задана как \(f(x) = x^2 + 2x\). Чтобы построить эту функцию, построим таблицу значений, подставив различные значения \(x\) из интервала \([-4; 1]\):

\[
\begin{align*}
x & : -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\
f(x) & : 8 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 \\
\end{align*}
\]

Теперь, используя эти точки, построим график функции на интервале \([-4; 1]\):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline f(x) & 8 & 0 & -2 & -2 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \]

На графике можно заметить, что функция возрастает на интервале \([-1; 4]\), так как значения функции увеличиваются по мере увеличения \(x\).

Чтобы найти экстремумы функции, рассмотрим значения функции на границах интервалов. На интервале \([-4; 1]\) минимум функции достигается в точке \((-2, -2)\), а на интервале \([-1; 4]\) нет экстремумов.

Наибольшее значение функции можно найти, анализируя график. На интервале \([-4; 1]\) наибольшее значение функции равно 8, достигается оно в точке \((-4, 8)\).

Чтобы найти интервалы знакопостоянства функции, рассмотрим значения функции на каждом из интервалов:

- На интервале \([-4;-2]\) функция \(f(x)\) положительна, так как значения функции больше нуля.
- На интервале \([-2;0]\) функция \(f(x)\) отрицательна, так как значения функции меньше нуля.
- На интервале \([0;1]\) функция \(f(x)\) неопределена.
- На интервале \([1;4]\) функция \(f(x)\) положительна, так как значения функции больше нуля.

Что касается четности функции, мы можем заметить, что график функции симметричен относительно оси \(y\), поэтому функция является четной.

Нули функции (точки, в которых функция равна нулю) могут быть найдены, приравнивая функцию \(f(x)\) к нулю и решая уравнение:

\[
x^2 + 2x = 0
\]

Решив это уравнение, мы получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = -2\).

Точки пересечения с осями координат могут быть найдены, подставив \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение функции:

- Чтобы найти точку пересечения с осью \(x\), подставим \(y = 0\) и получим уравнение: \(x^2 + 2x = 0\). Решив его, мы получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = -2\). Таким образом, точки пересечения с осью \(x\) равны \((0, 0)\) и \((-2, 0)\).
- Чтобы найти точку пересечения с осью \(y\), подставим \(x = 0\) и получим \(y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0\). Таким образом, точка пересечения с осью \(y\) равна \((0, 0)\).

Итак, чтобы ответить на вопросы:

1. Интервал, на котором функция возрастает, это \(x \in (-1; 4)\).
2. Интервал, на котором функция убывает, это \(x \in (-4; -1)\).
3. Экстремум функции: нет на интервале \([-1; 4]\), максимальное значение функции равно 8 и достигается в точке \((-4, 8)\).