Дано: BD — линия, делящая угол CBA пополам, ECDA = BEBD = CBBA. 1. По какому условию треугольники ΔABD и ΔCBE подобны?

1. Для того чтобы треугольники ΔABD и ΔCBE были подобными, необходимо и достаточно, чтобы у них были равны углы. В данной задаче нужно найти условие, при котором треугольники будут подобными. Заметим, что угол ABD является вертикальным углом с углом CBA, а угол CBE является его углом-биссектрисой. Также, угол ABА является вертикальным углом с углом EBA, а угол EBC является его углом-биссектрисой. Мы знаем, что у биссектрисы угла она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные остальным сторонам треугольника. Таким образом, углы ABD и CBE будут равными, если и только если соответствующие отношения длин сторон равны.

2. Мы можем воспользоваться этим условием, чтобы найти значение EC. Поскольку треугольники ΔABD и ΔCBE подобны, соответствующие отношения длин сторон будут равны. В данной задаче нам известны значения сторон треугольника ΔABD (DA = 12 см и BA = 16 см) и требуется найти значение стороны EC. Используем отношение длин сторон треугольников:

\[\frac{EC}{DA} = \frac{CB}{BA}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{EC}{12} = \frac{CB}{16}\]

Перемножаем обе части уравнения на 12:

\[EC = \frac{CB}{16} \cdot 12\]

Теперь нам нужно найти значение стороны CB. Мы знаем, что ECDA = BEBD. Это означает, что сумма двух противолежащих углов находится в сумме двух треугольников:

\[\angle CBA + \angle CBE = \angle ABD + \angle ADE\]
\[\angle CBE = \angle ADE\]

Так как биссектриса угла делит его на два равных угла, имеем:

\[\angle CBE = \angle ABC\]

Аналогично, угол BEBD = CBBA, поэтому:

\[\angle ABD = \angle CBA\]

Таким образом, треугольники ΔABD и ΔCBE подобны по условию равенства двух углов. Из условия равенства углов, мы видим, что углы ABD и CBE являются вертикальными углами. Поскольку вертикальные углы равны, у нас есть:

\[\angle CBE = \angle ABD\]
\[\angle ABC = \angle CBA\]

Возвращаясь к нашему уравнению отношений длин сторон, получаем:

\[\frac{EC}{12} = \frac{CB}{16}\]

Мы знаем, что у треугольников ΔABD и ΔCBE вертикальные углы равны, поэтому:

\[\frac{EC}{12} = \frac{CB}{16}\]

Принимая во внимание, что мы хотим найти значение EC, получаем:

\[EC = \frac{CB}{16} \cdot 12\]

Таким образом, при известных значениях DA = 12 см и BA = 16 см, мы можем найти значение EC, подставив значение CB. Чтобы найти значение CB, можно воспользоваться дополнительной информацией о треугольнике, либо задать дополнительные условия для данной задачи.