Дано: ABCD - параллелограмм. Получить векторы : а) 2/5AB - 1/10CA - 2/5DA б) 2/9CD - 1/3DA - 2/9BC + 1/3AB Подробное

Дано: ABCD - параллелограмм. Получить векторы : а) 2/5AB - 1/10CA - 2/5DA б) 2/9CD - 1/3DA - 2/9BC + 1/3AB Подробное объяснение

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти векторы

\vec{X}

\vec{Y}

по заданным коэффициентам.

а) Найдем вектор

\vec{X} = \frac{2}{5} \vec{A B} - \frac{1}{10} \vec{C A} - \frac{2}{5} \vec{D A}

.

Для начала, найдем векторы

\vec{A B}

\vec{C A}

. Чтобы найти вектор

\vec{A B}

, нужно вычесть из координат точки

B

координаты точки

A

\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})

Similar to

\vec{C A}

\vec{C A} = (x_{A} - x_{C}, y_{A} - y_{C})

Мы получили векторы

\vec{A B}

\vec{C A}

.

Теперь, чтобы найти вектор

\vec{X}

, мы будем использовать эти векторы и коэффициенты, данные в задаче:

\vec{X} = \frac{2}{5} \vec{A B} - \frac{1}{10} \vec{C A} - \frac{2}{5} \vec{D A}

Помните, что вектор

\vec{D A}

можно найти таким же образом, как мы нашли векторы

\vec{A B}

\vec{C A}

\vec{D A} = (x_{A} - x_{D}, y_{A} - y_{D})

Теперь заменим векторы:

\vec{X} = \frac{2}{5} (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}) - \frac{1}{10} (x_{A} - x_{C}, y_{A} - y_{C}) - \frac{2}{5} (x_{A} - x_{D}, y_{A} - y_{D})

Умножим каждую часть на соответствующий коэффициент:

\vec{X} = (\frac{2}{5} x_{B} - \frac{2}{5} x_{A}, \frac{2}{5} y_{B} - \frac{2}{5} y_{A}) - (\frac{1}{10} x_{A} - \frac{1}{10} x_{C}, \frac{1}{10} y_{A} - \frac{1}{10} y_{C}) - (\frac{2}{5} x_{A} - \frac{2}{5} x_{D}, \frac{2}{5} y_{A} - \frac{2}{5} y_{D})

Теперь сложим соответствующие компоненты:

\vec{X} = (\frac{2}{5} x_{B} - \frac{2}{5} x_{A} - \frac{1}{10} x_{A} + \frac{1}{10} x_{C} - \frac{2}{5} x_{A} + \frac{2}{5} x_{D}, \frac{2}{5} y_{B} - \frac{2}{5} y_{A} - \frac{1}{10} y_{A} + \frac{1}{10} y_{C} - \frac{2}{5} y_{A} + \frac{2}{5} y_{D})

Обратите внимание, что мы суммируем и вычитаем координаты векторов.

Упростим это выражение:

\vec{X} = (\frac{2}{5} x_{B} - \frac{3}{5} x_{A} + \frac{1}{10} x_{C} + \frac{2}{5} x_{D}, \frac{2}{5} y_{B} - \frac{3}{5} y_{A} + \frac{1}{10} y_{C} + \frac{2}{5} y_{D})

Мы получили вектор

\vec{X}

в виде его координат.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нам нужно найти вектор

\vec{Y} = \frac{2}{9} \vec{C D} - \frac{1}{3} \vec{D A} - \frac{2}{9} \vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{A B}

.

Мы уже знаем, как найти векторы

\vec{C D}

\vec{D A}

\vec{B C}

\vec{A B}

.

Теперь применим данные коэффициенты и заменим векторы:

\vec{Y} = \frac{2}{9} (x_{C} - x_{D}, y_{C} - y_{D}) - \frac{1}{3} (x_{A} - x_{D}, y_{A} - y_{D}) - \frac{2}{9} (x_{B} - x_{C}, y_{B} - y_{C}) + \frac{1}{3} (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A})

Умножим каждую часть на соответствующий коэффициент:

\vec{Y} = (\frac{2}{9} x_{C} - \frac{2}{9} x_{D}, \frac{2}{9} y_{C} - \frac{2}{9} y_{D}) - (\frac{1}{3} x_{A} - \frac{1}{3} x_{D}, \frac{1}{3} y_{A} - \frac{1}{3} y_{D}) - (\frac{2}{9} x_{B} - \frac{2}{9} x_{C}, \frac{2}{9} y_{B} - \frac{2}{9} y_{C}) + (\frac{1}{3} x_{B} - \frac{1}{3} x_{A}, \frac{1}{3} y_{B} - \frac{1}{3} y_{A})

Теперь сложим соответствующие компоненты:

\vec{Y} = (\frac{2}{9} x_{C} - \frac{2}{9} x_{D} - \frac{1}{3} x_{A} + \frac{1}{3} x_{D} - \frac{2}{9} x_{B} + \frac{2}{9} x_{C} + \frac{1}{3} x_{B} - \frac{1}{3} x_{A}, \frac{2}{9} y_{C} - \frac{2}{9} y_{D} - \frac{1}{3} y_{A} + \frac{1}{3} y_{D} - \frac{2}{9} y_{B} + \frac{2}{9} y_{C} + \frac{1}{3} y_{B} - \frac{1}{3} y_{A})

Опять же, упростим это выражение:

\vec{Y} = (\frac{2}{9} x_{C} + \frac{1}{3} x_{D} - \frac{11}{9} x_{A} - \frac{2}{9} x_{B}, \frac{2}{9} y_{C} + \frac{1}{3} y_{D} - \frac{11}{9} y_{A} - \frac{2}{9} y_{B})

Мы получили вектор

\vec{Y}

в виде его координат.

Теперь у нас есть искомые векторы

\vec{X}

\vec{Y}

, представленные в виде их координат.

Знаешь ответ?

Геометрия

Геометрия