Дано: ABCD - параллелограмм. Получить векторы : а) 2/5AB - 1/10CA - 2/5DA б) 2/9CD - 1/3DA - 2/9BC + 1/3AB Подробное

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти векторы \(\overrightarrow{X}\) и \(\overrightarrow{Y}\) по заданным коэффициентам.

а) Найдем вектор \(\overrightarrow{X} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{10}\overrightarrow{CA} - \frac{2}{5}\overrightarrow{DA}\).

Для начала, найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CA}\). Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{AB}\), нужно вычесть из координат точки \(B\) координаты точки \(A\):

\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)

Similar to \(\overrightarrow{CA}\):

\(\overrightarrow{CA} = (x_A - x_C, y_A - y_C)\)

Мы получили векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CA}\).

Теперь, чтобы найти вектор \(\overrightarrow{X}\), мы будем использовать эти векторы и коэффициенты, данные в задаче:

\(\overrightarrow{X} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{10}\overrightarrow{CA} - \frac{2}{5}\overrightarrow{DA}\)

Помните, что вектор \(\overrightarrow{DA}\) можно найти таким же образом, как мы нашли векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CA}\):

\(\overrightarrow{DA} = (x_A - x_D, y_A - y_D)\)

Теперь заменим векторы:

\(\overrightarrow{X} = \frac{2}{5}(x_B - x_A, y_B - y_A) - \frac{1}{10}(x_A - x_C, y_A - y_C) - \frac{2}{5}(x_A - x_D, y_A - y_D)\)

Умножим каждую часть на соответствующий коэффициент:

\(\overrightarrow{X} = (\frac{2}{5}x_B - \frac{2}{5}x_A, \frac{2}{5}y_B - \frac{2}{5}y_A) - (\frac{1}{10}x_A - \frac{1}{10}x_C, \frac{1}{10}y_A - \frac{1}{10}y_C) - (\frac{2}{5}x_A - \frac{2}{5}x_D, \frac{2}{5}y_A - \frac{2}{5}y_D)\)

Теперь сложим соответствующие компоненты:

\(\overrightarrow{X} = (\frac{2}{5}x_B - \frac{2}{5}x_A - \frac{1}{10}x_A + \frac{1}{10}x_C - \frac{2}{5}x_A + \frac{2}{5}x_D, \frac{2}{5}y_B - \frac{2}{5}y_A - \frac{1}{10}y_A + \frac{1}{10}y_C - \frac{2}{5}y_A + \frac{2}{5}y_D)\)

Обратите внимание, что мы суммируем и вычитаем координаты векторов.

Упростим это выражение:

\(\overrightarrow{X} = (\frac{2}{5}x_B - \frac{3}{5}x_A + \frac{1}{10}x_C + \frac{2}{5}x_D, \frac{2}{5}y_B - \frac{3}{5}y_A + \frac{1}{10}y_C + \frac{2}{5}y_D)\)

Мы получили вектор \(\overrightarrow{X}\) в виде его координат.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нам нужно найти вектор \(\overrightarrow{Y} = \frac{2}{9}\overrightarrow{CD} - \frac{1}{3}\overrightarrow{DA} - \frac{2}{9}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

Мы уже знаем, как найти векторы \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AB}\).

Теперь применим данные коэффициенты и заменим векторы:

\(\overrightarrow{Y} = \frac{2}{9}(x_C - x_D, y_C - y_D) - \frac{1}{3}(x_A - x_D, y_A - y_D) - \frac{2}{9}(x_B - x_C, y_B - y_C) + \frac{1}{3}(x_B - x_A, y_B - y_A)\)

Умножим каждую часть на соответствующий коэффициент:

\(\overrightarrow{Y} = (\frac{2}{9}x_C - \frac{2}{9}x_D, \frac{2}{9}y_C - \frac{2}{9}y_D) - (\frac{1}{3}x_A - \frac{1}{3}x_D, \frac{1}{3}y_A - \frac{1}{3}y_D) - (\frac{2}{9}x_B - \frac{2}{9}x_C, \frac{2}{9}y_B - \frac{2}{9}y_C) + (\frac{1}{3}x_B - \frac{1}{3}x_A, \frac{1}{3}y_B - \frac{1}{3}y_A)\)

Теперь сложим соответствующие компоненты:

\(\overrightarrow{Y} = (\frac{2}{9}x_C - \frac{2}{9}x_D - \frac{1}{3}x_A + \frac{1}{3}x_D - \frac{2}{9}x_B + \frac{2}{9}x_C + \frac{1}{3}x_B - \frac{1}{3}x_A, \frac{2}{9}y_C - \frac{2}{9}y_D - \frac{1}{3}y_A + \frac{1}{3}y_D - \frac{2}{9}y_B + \frac{2}{9}y_C + \frac{1}{3}y_B - \frac{1}{3}y_A)\)

Опять же, упростим это выражение:

\(\overrightarrow{Y} = (\frac{2}{9}x_C + \frac{1}{3}x_D - \frac{11}{9}x_A - \frac{2}{9}x_B, \frac{2}{9}y_C + \frac{1}{3}y_D - \frac{11}{9}y_A - \frac{2}{9}y_B)\)

Мы получили вектор \(\overrightarrow{Y}\) в виде его координат.

Теперь у нас есть искомые векторы \(\overrightarrow{X}\) и \(\overrightarrow{Y}\), представленные в виде их координат.