Окружность, вписанная в ромб KLMN, касается стороны LK в точке P. Проведены параллельные прямые через точки P

стороны MN в точке R.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами вписанной окружности и параллелограмма.

Первым шагом в доказательстве будет выявление связи между углами ромба KLMN и углами треугольников PQK и KRN. Обозначим угол KLN как \(\angle 1\), угол KNL как \(\angle 2\), угол QKL как \(\angle 3\), угол NKR как \(\angle 4\).

Так как углы треугольника будут в итоге составлять 180°, мы можем сказать, что:
\(\angle PQK = 180° - \angle QKL - \angle KLP\)
\(\angle KRN = 180° - \angle NKR - \angle RKM\)

Теперь рассмотрим ромб KLMN. Угол вписанного треугольника равен половине хорды, что в данном случае равно половине стороны KLMN. Таким образом, мы можем записать:
\(\angle 1 = \frac{1}{2} \angle KLMN\)
\(\angle 2 = \frac{1}{2} \angle KMLN\)

Параллельные прямые, проходящие через точки P и K, создают следующую систему углов:
\(\angle 3 + \angle QPK = 180°\) (смежные углы)
\(\angle 4 + \angle KRP = 180°\) (смежные углы)

Теперь мы можем использовать полученные уравнения, чтобы сформировать следующую систему уравнений:
\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle PQK = 360°\) (сумма углов треугольника KLMN)
\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 4 + \angle KRN = 360°\) (сумма углов треугольника KLMN)

Подставим выражения, которые мы вывели из ранее предложенных равенств:
\(\frac{1}{2} \angle KLMN + \frac{1}{2} \angle KMLN + \angle 3 + (180° - \angle QKL - \angle KLP) = 360°\)
\(\frac{1}{2} \angle KLMN + \frac{1}{2} \angle KMLN + \angle 4 + (180° - \angle NKR - \angle RKM) = 360°\)

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
\(\frac{1}{2} \angle KLMN + \frac{1}{2} \angle KMLN + \angle 3 + 180° - \angle QKL - \angle KLP = 360°\)
\(\frac{1}{2} \angle KLMN + \frac{1}{2} \angle KMLN + \angle 4 + 180° - \angle NKR - \angle RKM = 360°\)

Далее, объединим похожие члены и упростим уравнения:
\(\frac{1}{2} \angle KLMN + \frac{1}{2} \angle KMLN - \angle QKL - \angle KLP = 180°\)
\(\frac{1}{2} \angle KLMN + \frac{1}{2} \angle KMLN - \angle NKR - \angle RKM = 180°\)

Раскроем выражения, связанные с ромбом KLMN:
\(\frac{1}{2} (\angle KMLN + \angle KLMN) - \angle 3 - \angle KLP = 180°\)
\(\frac{1}{2} (\angle KMLN + \angle KLMN) - \angle 4 - \angle RKM = 180°\)

Сократим подобные слагаемые:
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle 3 - 2\angle KLP = 360°\)
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle 4 - 2\angle RKM = 360°\)

Теперь мы можем заметить, что углы \(\angle QKL\) и \(\angle NKR\) являются вертикальными, то есть они равны. А значит, мы можем выразить \(\angle 3\) и \(\angle 4\) через них:
\(\angle 3 = \angle QKL\)
\(\angle 4 = \angle NKR\)

Подставим эти выражения в уравнения:
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle QKL - 2\angle KLP = 360°\)
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle NKR - 2\angle RKM = 360°\)

Теперь мы можем объединить похожие члены и упростить:
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle QKL - 2\angle KLP = 360°\)
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle NKR - 2\angle RKM = 360°\)

Раскроем выражения, связанные с параллелограммом:
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle QKL - 2(\angle QKL + \angle KLP) = 360°\)
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle NKR - 2(\angle NKR + \angle RKM) = 360°\)

Упростим уравнения еще больше:
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle QKL - 2\angle QKL - 2\angle KLP = 360°\)
\(\angle KMLN + \angle KLMN - 2\angle NKR - 2\angle NKR - 2\angle RKM = 360°\)

Когда мы раскроем выражения, мы можем заметить, что сумма углов \(\angle KMLN + \angle KLMN\) равна 180° (свойство углов, образованных параллельными линиями и пересекающими их трансверсальными).
Таким образом, мы можем переписать уравнения:
\(180° - 2\angle QKL - 2\angle KLP = 360°\)
\(180° - 2\angle NKR - 2\angle RKM = 360°\)

Упростим их:
\(-2\angle QKL - 2\angle KLP = 180°\)
\(-2\angle NKR - 2\angle RKM = 180°\)

Делим уравнения на -2:
\(\angle QKL + \angle KLP = -90°\)
\(\angle NKR + \angle RKM = -90°\)

Теперь мы можем заметить, что сумма углов в треугольнике PQK и треугольнике KRN равна -90°. Таким образом, треугольники PQK и KRN есть прямоугольные треугольники.

Для треугольника PQK мы знаем, что вершина угла QKL лежит на описанной окружности, так как лежит внутри прямого угла треугольника PQK. А значит, окружность, описанная около треугольника PQK, касается стороны KL в точке Q.

Аналогично, для треугольника KRN вершина угла NKR лежит на описанной окружности, так как лежит внутри прямого угла треугольника KRN. А значит, окружность, описанная около треугольника KRN, касается стороны MN в точке R.

Таким образом, мы доказали, что окружность, вписанная в ромб KLMN и касающаяся стороны LK в точке P, также касается стороны MN в точке R.