Дан треугольник ABC с углами ∠A=74∘, ∠B=62∘, ∠C=44∘. Выберем точку P на дуге BC описанной окружности треугольника

Для начала, нам понадобятся некоторые свойства треугольников и окружностей, чтобы вычислить углы ∠BA1C1, ∠C1A1B1 и ∠CPA1. Давайте посмотрим на каждый угол по очереди.

1. Угол ∠BA1C1:
Для начала заметим, что треугольник ABC является остроугольным (сумма его углов меньше 180°). Поскольку углы ∠A и ∠B образуют меньший угол, а угол ∠C больше остальных, то сторона BC будет противоположна наибольшему углу, то есть ∠C. Значит, ∠BA1C1 = ∠PC1B.

Также, из свойств окружности следует, что центр окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из точки пересечения двух касательных. Так как PC1 перпендикулярен к BC и пересекает BC в точке C1, центр окружности лежит на перпендикуляре, опущенном из C1 на BC.

Из свойства окружности мы также знаем, что углы, образованные дугами, равны соответственно половине дуги. Это означает, что ∠CB1C1 = 0.5 × ∠C и ∠PB1C1 = 0.5 × ∠PC1B. Так как ∠C = 44° и ∠PC1B = ∠BA1C1, мы можем выразить ∠BA1C1 через угол ∠CB1C1: ∠BA1C1 = 2 × ∠CB1C1.

Теперь мы знаем, что ∠BA1C1 = 2 × ∠CB1C1. Найдем ∠CB1C1: ∠CB1C1 = 180° - ∠C - ∠PC1B = 180° - 44° - (0.5 × ∠BA1C1) = 180° - 44° - (0.5 × 2 × ∠CB1C1)

Решим это уравнение относительно ∠CB1C1:

∠CB1C1 = 136° - ∠CB1C1
2 × ∠CB1C1 = 136°
∠CB1C1 = 68°

Теперь, мы можем найти ∠BA1C1:
∠BA1C1 = 2 × ∠CB1C1 = 2 × 68° = 136°

Итак, градусная мера угла ∠BA1C1 равна 136°.

2. Угол ∠C1A1B1:
Данный угол образуется между прямыми AC1 и BA1, которые являются высотами треугольника ABC, опущенными из точки P. Так как треугольник ABC - остроугольный (сумма его углов меньше 180°), известно, что высоты пересекаются внутри треугольника. Значит, ∠C1A1B1 = ∠C1BA1.

Также, заметим, что треугольник A1BA подобен треугольнику ABC по принципу углового подобия. Поэтому мы можем установить следующее соотношение:

\[\frac{{BA1}}{{BA}} = \frac{{A1B}}{{AC}}\]

Заметим, что ∠BA1C1 = ∠BA1P + ∠PA1C1. Мы знаем, что ∠BA1P = ∠C1BA1 и ∠PA1C1 = ∠A1BC1 (так как треугольник A1BC1 - прямоугольный).

Теперь мы можем заметить, что ∠A1BC1 = ∠A (это опущенный перпендикуляр, являющийся высотой треугольника ABC) и ∠C1BA1 = ∠B (так как треугольник A1BA - прямоугольный). Подставим это в пропорцию:

\[\frac{{BA1}}{{BA}} = \frac{{A1B}}{{AC}} = \frac{{\sin \angle A}}{{\sin \angle B}}\]

Зная, что ∠A = 74° и ∠B = 62°, мы можем вычислить соотношение:

\[\frac{{BA1}}{{BA}} = \frac{{\sin 74^\circ}}{{\sin 62^\circ}}\]

\(\sin 74^\circ \approx 0.9613\) и \(\sin 62^\circ \approx 0.8829\). Подставим соответствующие значения в вышеприведенное соотношение:

\[\frac{{BA1}}{{BA}} \approx \frac{{0.9613}}{{0.8829}}\]

Решим эту пропорцию относительно \(BA1\):

\(BA1 \approx BA \times \frac{{0.9613}}{{0.8829}}\)

Теперь мы можем найти угол ∠C1A1B1:

\[\angle C1A1B1 = \angle C1BA1 = \arcsin\left(\frac{{BA1}}{{BA}}\right)\]

Подставим значение \(BA1\) и \(BA\) в выражение:

\[\angle C1A1B1 = \arcsin\left(\frac{{BA \times \frac{{0.9613}}{{0.8829}}}}{{BA}}\right)\]

После вычислений:

\(\angle C1A1B1 \approx 61.77^\circ\)

Итак, градусная мера угла ∠C1A1B1 составляет около 61.77°.

3. Угол ∠CPA1:
Данный угол образуется между прямыми AC и A1P, которые пересекаются в точке A1. Мы можем заметить, что треугольники CPA1 и C1BA1 - подобные треугольники по принципу углового подобия, так как они имеют пары равных углов. В частности, ∠C1A1B1 = ∠CPA1.

Мы уже нашли, что ∠C1A1B1 ≈ 61.77°.

Таким образом, градусная мера угла ∠CPA1 также составляет около 61.77°.