Даете доказательство того, что для всех целых чисел k и n (1 ≤ k ≤ n) выполняется равенство С к-1 n-1 * n/k = C

Равенство, которое нужно доказать, выглядит следующим образом:

\(\binom{k-1}{n-1} \cdot \frac{n}{k} = \binom{k}{n}\).

Для того чтобы начать доказательство, давайте сначала определим, что такое биномиальный коэффициент. Биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\) - это число сочетаний из n элементов по k элементов. Он определяется формулой:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где "!" обозначает факториал числа.

Для начала, давайте рассмотрим левую часть равенства:

\(\binom{k-1}{n-1} \cdot \frac{n}{k}\).

Поскольку \(\binom{k-1}{n-1}\) содержит факториалы в числителе и знаменателе, давайте разложим его по формуле факториала:

\(\binom{k-1}{n-1} = \frac{(k-1)!}{(n-1)!(k-1-(n-1))!}\).

Мы можем упростить это выражение:

\(\binom{k-1}{n-1} = \frac{(k-1)!}{(n-1)!(k-n)!}\).

Теперь мы можем подставить это выражение обратно в левую часть равенства:

\(\binom{k-1}{n-1} \cdot \frac{n}{k} = \frac{(k-1)!}{(n-1)!(k-n)!} \cdot \frac{n}{k}\).

Теперь посмотрим на правую часть равенства:

\(\binom{k}{n}\).

Разложим \(\binom{k}{n}\) по формуле факториала:

\(\binom{k}{n} = \frac{k!}{n!(k-n)!}\).

Теперь у нас есть:

\(\frac{(k-1)!}{(n-1)!(k-n)!} \cdot \frac{n}{k} = \frac{k!}{n!(k-n)!}\).

Видим, что у нас есть общий множитель \((k-n)!\) в числителе и знаменателе. Мы можем упростить это выражение, поделив оба числителя и знаменателя на \((k-n)!\):

\(\frac{(k-1)!}{(n-1)!} \cdot \frac{n}{k} = \frac{k!}{n!}\).

Теперь мы видим, что у наших дробей одинаковые числители и знаменатели, и они равны между собой. Исходное утверждение доказано:

\(\binom{k-1}{n-1} \cdot \frac{n}{k} = \binom{k}{n}\).

Таким образом, мы доказали, что для всех целых чисел \(k\) и \(n\) (с условием \(1 \leq k \leq n\)) выполняется данное равенство.