Д) Какое минимальное положительное значение может иметь числовое выражение, полученное путем расставления знаков

Для того чтобы найти минимальное положительное значение числового выражения, составленного из знаков "+" и "-", между всеми натуральными числами от 1 до 11, мы должны рассмотреть все возможные комбинации знаков.

Итак, первым шагом давайте перечислим все натуральные числа от 1 до 11:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Теперь мы должны решить, где поставить знаки "+" и "-" между этими числами.

Поскольку у нас есть 10 чисел (от 2 до 11), мы должны разместить 10 знаков между ними. Задача состоит в том, чтобы найти комбинацию знаков, которая даст нам минимальное положительное значение.

Для этого давайте рассмотрим все возможные комбинации знаков. С помощью дерева решений можно описать все возможные комбинации, но для удобства представим их в следующей таблице:

$$\begin{array}{cccccccccc}+& +& +& +& +& +& +& +& +& +\\ +& +& +& +& +& +& +& +& +& -\\ +& +& +& +& +& +& +& +& -& +\\ +& +& +& +& +& +& +& +& -& -\\ & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ -& -& -& -& -& -& -& -& -& -\end{array}$$

Теперь давайте посчитаем значения для каждой комбинации и найдем минимальное положительное значение.

$$\begin{array}{ccccccccccc}+& +& +& +& +& +& +& +& +& +& =55\\ +& +& +& +& +& +& +& +& +& -& =53\\ +& +& +& +& +& +& +& +& -& +& =51\\ +& +& +& +& +& +& +& +& -& -& =49\\ & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ -& -& -& -& -& -& -& -& -& -& =-33\end{array}$$

Таким образом, минимальное положительное значение, которое может быть получено, составляет 49.

Теперь рассмотрим вторую задачу. Мы должны найти наименьшее положительное значение числового выражения, составленного из знаков "+" и "-", для всех натуральных чисел от 1 до 110.

Аналогично первой задаче, нам необходимо разместить 109 знаков между натуральными числами от 2 до 110.

Однако, для решения этой задачи мы можем заметить некоторую закономерность. В числовом выражении, составленном из всех натуральных чисел от 1 до $n$, можно заметить, что значением будет сумма всех чисел от 1 до $n$, вычитая удвоенную сумму всех чисел от 1 до $n-1$.

Таким образом, для задачи со всеми натуральными числами от 1 до 110, мы можем применить эту закономерность и получить следующее выражение:

$$(1+2+3+\dots +110)-2\cdot (1+2+3+\dots +109)$$

Для нахождения суммы всех натуральных чисел от 1 до $n$ мы можем применить формулу суммы арифметической прогрессии:

$$S=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем:

$$\left(\frac{110\cdot (110+1)}{2}\right)-2\cdot \left(\frac{109\cdot (109+1)}{2}\right)=62260$$

Таким образом, наименьшее положительное значение, которое может быть получено, составляет 62260.