Д) Какое минимальное положительное значение может иметь числовое выражение, полученное путем расставления знаков

Для того чтобы найти минимальное положительное значение числового выражения, составленного из знаков "+" и "-", между всеми натуральными числами от 1 до 11, мы должны рассмотреть все возможные комбинации знаков.

Итак, первым шагом давайте перечислим все натуральные числа от 1 до 11:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Теперь мы должны решить, где поставить знаки "+" и "-" между этими числами.

Поскольку у нас есть 10 чисел (от 2 до 11), мы должны разместить 10 знаков между ними. Задача состоит в том, чтобы найти комбинацию знаков, которая даст нам минимальное положительное значение.

Для этого давайте рассмотрим все возможные комбинации знаков. С помощью дерева решений можно описать все возможные комбинации, но для удобства представим их в следующей таблице:

\[
\begin{array}{cccccccccc}
+ & + & + & + & + & + & + & + & + & + \\
+ & + & + & + & + & + & + & + & + & - \\
+ & + & + & + & + & + & + & + & - & + \\
+ & + & + & + & + & + & + & + & - & - \\
& \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
- & - & - & - & - & - & - & - & - & -
\end{array}
\]

Теперь давайте посчитаем значения для каждой комбинации и найдем минимальное положительное значение.

\[
\begin{array}{cccccccccc}
+ & + & + & + & + & + & + & + & + & + & = 55 \\
+ & + & + & + & + & + & + & + & + & - & = 53 \\
+ & + & + & + & + & + & + & + & - & + & = 51 \\
+ & + & + & + & + & + & + & + & - & - & = 49 \\
& \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
- & - & - & - & - & - & - & - & - & - & = -33
\end{array}
\]

Таким образом, минимальное положительное значение, которое может быть получено, составляет 49.

Теперь рассмотрим вторую задачу. Мы должны найти наименьшее положительное значение числового выражения, составленного из знаков "+" и "-", для всех натуральных чисел от 1 до 110.

Аналогично первой задаче, нам необходимо разместить 109 знаков между натуральными числами от 2 до 110.

Однако, для решения этой задачи мы можем заметить некоторую закономерность. В числовом выражении, составленном из всех натуральных чисел от 1 до \(n\), можно заметить, что значением будет сумма всех чисел от 1 до \(n\), вычитая удвоенную сумму всех чисел от 1 до \(n-1\).

Таким образом, для задачи со всеми натуральными числами от 1 до 110, мы можем применить эту закономерность и получить следующее выражение:

\[
(1 + 2 + 3 + \ldots + 110) - 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 109)
\]

Для нахождения суммы всех натуральных чисел от 1 до \(n\) мы можем применить формулу суммы арифметической прогрессии:

\[
S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
\]

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получаем:

\[
\left(\frac{110 \cdot (110 + 1)}{2}\right) - 2 \cdot \left(\frac{109 \cdot (109 + 1)}{2}\right) = 62260
\]

Таким образом, наименьшее положительное значение, которое может быть получено, составляет 62260.