Чтобы найти сторону и площадь треугольника, вписанного вокруг квадрата, площадь которого равна q, нужно выполнить

Для нахождения стороны и площади треугольника, вписанного вокруг квадрата площадью q, нужно выполнить следующие действия:

1. Найдите длину стороны квадрата. Если площадь квадрата равна q, то сторона квадрата будет равна квадратному корню из q. То есть:

\[a = \sqrt{q}\]

2. Найдите длину стороны треугольника. В данном случае, сторона треугольника будет равна диагонали квадрата, так как треугольник вписан вокруг квадрата. Длина диагонали квадрата найдется по формуле:

\[d = a\sqrt{2}\]

Где d - длина диагонали, a - сторона квадрата.

3. Разделив длину диагонали треугольника на \(\sqrt{2}\), получаем длину стороны треугольника:

\[c = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a\]

Таким образом, сторона треугольника, вписанного вокруг квадрата, будет равна a.

4. Найдите площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти, зная его сторону a и применяя формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - a)(p - a)}\]

где p - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех сторон треугольника и разделив полученную сумму на 2:

\[p = \frac{3a}{2}\]

Подставляя значения в формулу Герона, получаем:

\[S = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2} - a\right)\left(\frac{3a}{2} - a\right)\left(\frac{3a}{2} - a\right)}\]

5. Упрощаем выражение:

\[S = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a}{2}\right)} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, площадь треугольника, вписанного вокруг квадрата, будет равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).