Что значит x3+y3+z3, если x, y и z являются корнями уравнения x3-7x+3=0?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать теорему Виета, которая устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами.

В данном случае у нас имеется уравнение третьей степени \(x^3 - 7x + 3 = 0\) и корни \(x\), \(y\) и \(z\). Мы хотим найти значение выражения \(x^3 + y^3 + z^3\).

Теорема Виета позволяет нам связать корни многочлена с его коэффициентами:

Для многочлена третьей степени \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) с корнями \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) формулы Виета выглядят следующим образом:

\(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)
\(x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}\)
\(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}\)

В нашем случае коэффициенты многочлена \(x^3 - 7x + 3 = 0\) равны:
\(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -7\), \(d = 3\).

Применяя формулы Виета, мы получаем:
\(x + y + z = -\frac{0}{1} = 0\)
\(xy + xz + yz = \frac{-7}{1} = -7\)
\(xyz = -\frac{3}{1} = -3\)

Теперь мы можем выразить \(x^3 + y^3 + z^3\) через \(x + y + z\) и \(xy + xz + yz\):

Давайте воспользуемся формулой суммы кубов:
\(a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)\)

Применяя эту формулу, мы получаем:
\(x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)\)

Подставляя значения \(x + y + z = 0\) и \(xy + xz + yz = -7\) получаем:
\(x^3 + y^3 + z^3 = 0 \cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = 0\)

Таким образом, \(x^3 + y^3 + z^3\) равно нулю для данного уравнения \(x^3 - 7x + 3 = 0\) с корнями \(x\), \(y\), \(z\).